Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

© КОЛЕБАНИЯ

Глава 4

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ понятия

Кинематика колебательных процессов

Законом колебаний какой-либо координаты (линейной или угло­ вой) называют функцию у = у (*), описывающую изменение этой координаты у во времени *. Соответственно можно говорить о колебаниях других кинематических величин (скорости, ускорения, деформации, скорости деформации и т. п.) или динамических величин (внешние силы, внутренние усилия, опорные реакции, напряжения).

Различные виды колебаний показаны на рис. 1. Простейшими яв­ ляются гармонические колебания (рис. 1, а), описываемые уравнением

ческая) частота колебаний (здесь Т — период колебаний, т. е. время одного цикла); ф — начальная фаза; * — текущее время.

Величину, обратную периоду колебаний, называют ч а с т о т о й ко­ лебаний

Частота колебаний измеряется в герцах (1 гц соответствует одному циклу изменения величины за 1 сек).

При гармонических колебаниях скорость и ускорен также по гармоническому закону

у = асо сов (со* + ф );

у = — асо2 з т (со* + ф ).

Амплитуда скорости составляет асо, амплитуда ускорения асо3. Кроме гармонических колебаний на рис. 1 показаны следующие виды колебаний: затухающие (рис. 1, б) и возрастающие (рис. 1, я) колебания с постоянной частотой (монотонное изменение амплитуды), биения (периодические изменения амплитуды при постоянной частоте,

рис. 1, г), колебания с переменной частотой и постоянной амплитудой (рис. 1, д), колебания с переменными частотой и амплитудой (рис. I, е).

Колебания могут происходить относительно смещенного отсчетного уровня (рис. 2, а) или переменного отсчетного уровня (рис. 2, б).

Часто встречаются периодические, но негармонические колебания (рис. 2, в). Их можно рассматривать как сумму (иногда бесконечную) простых гармонических ко­ лебаний; разложение периодических коле­ баний на гармонические составляющие (гармоники) называют гармоническим ана­ лизом и выполняют в соответствии с тео­ рией рядов Фурье.

Возмущающие силы — внешние силы типа Р = Р (/), являющиеся некоторыми заданными функциями (часто, периодиче­ скими) времени и вызывающие вынужден­

ные колебания механических систем, на которые эти силы действуют. Движение, принудительно задаваемое каким-либо точкам меха­ нической системы, является причиной кинематического возбуждения

ной системы. Среди позиционных сил особое значение имеют восста­ навливающие силы. К таким силам относят силы, возникающие при отклонениях системы от положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в это положение. Восстанавливающие силы Р = Р (у) зависят (ли­ нейно или нелинейно) от перемещений у системы и не только влияют на движение системы, но и сами управляются этим движением. Колебатель­ ные свойства механических систем обусловлены в основном наличием

движения. Чаще всего силы трения способ­ ствуют гашению колебаний; соответствующие механические системы называют диссипатив­ ными. В некоторых случаях силы трения оказывают противоположное действие и слу­

также силы Р* (у, у) и непредставимые в виде суммы восстанав­

ливающей силы Р (у) и силы трения Р (у); иногда при наличии таких сил механические системы способны совершать установившиеся неза­ тухающие колебания при отсутствии внешних периодических источни­ ков возбуждения (автоколебательные системы).

Возмущающие силы

Источники возникновения возмущающих сил весьма разнообразны (инерционные эффекты, сгорание газовой смеси, переменное притяжение электромагнитов, переменное контактное давление при соударениях и т. п., табл. 1); в еще большей степени различны законы их изменения во времени. Общие сведения о характере возмущающих сил, переда­ ваемых на фундаменты различными машинами, приведены в табл. 2.

В некоторых случаях возмущающие силы не являются детермини­ рованными функциями, а представляют собой случайный процесс (сейсмические нагрузки, действие неровной дороги на автомобиль, волнение, в условиях которого происходит качка корабля, и т. п.). Характеристики таких случайных процессов (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция) получают путем обработки экспе­ риментальных данных. О статистических задачах см. гл. 10.