Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы			261
в которой уг (/), уг (/), — должным образом выбранные функции			вре
мени; а1г а2,	— параметры, определяемые	из системы уравнений
2л
I	[ту + Р (У) — Р 0 51П 0)/] у1(/) (И = 0
о	(1 = 1, 2, .	.,я).	(96)

При сохранении одного члена суммы (95)		получается соотноше
ние (93).

Амплитуды ультрагармонических колебаний в случаях слабой нелинейности малы по сравнению с амплитудой основной гармоники. Амплитуды субгармонических колебаний иногда могут быть весьма значительными, но эти колебания могут быть полностью подавлены демпфирующим действием достаточно больших сил трения.

В случае действия возмущающей силы, состоящей из двух гармон

Р = Рх51П < 0 -\~Р 2 5Й1 00а/,

на систему с нелинейной характеристикой

Р (у) = су + V!/3

приближенное решение имеет вид

У = а1 з т по>]/ + а2 з т соа/.

Амплитуды а1 и а2 определяют из нелинейной системы уравнений:

=____________ Рг_____________ .

(р“ — ©?) + ~4"

(а? + 2аг)

________________ Р з________________

(р2- ш 1 ) + - | - | - ( а2 + 2а?)

Влияние вязкого сопротивления. Для решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы с нелинейной упругой характеристикой и вязким сопротивлением

ту + ку + Р {у) — Р0 з!п о /

(97)

(случай действия гармонического возмущения) в первом приближении принимают, что движение описывается законом

у = а з т (ш/ — у).	(98)
Амплитуда колебаний может быть определена из уравнения
Р (а) = VРр — (Ласо)2 + таю1	(99)
или из уравнения
а = -	( 100)
йаша

/ [ 1- -й)Т+т2р* (а)

262	Основы теории колебаний механических систем

в котором р- (а) определяется формулой (78). На рис. 20, а схематически показана амплитудно-частотная характеристика, а на рис. 20, б — из менение амплитуды а при изменении частоты ю возмущения от нуля до значения со* и затем от значения со* до нуля. В системах с демпфирова нием срыв амплитуды неизбежен даже при монотонном увеличении

частоты.

Для построения высших приближений используют метод БубноваГалеркина. Закон движения принимают в виде суммы (95) и вместо уравнений (96) получают систему уравнений

(I)
\|	[ту + Ьу 4- Р (у) — Р„ 5’щ со/] У1 (О <И
о
	(/ = 1, 2, . . . . л)	(101)
с неизвестными	параметрами

Нелинейные диссипативные системы

Рассмотрим случаи, когда характеристика восстанавливающей силы линейна, а нелинейность системы обусловлена действием нелинейных сил трения.

Свободные колебания. С и с т е м а с к в а д р а т и ч н ы м з а

к о н о м н е у п р у г о г о с о п р о т и в л е н и я .	Дифференциаль
ное уравнение движения может быть приведено к виду
У±-% -У*+РгУ - 0 ,	(102)

где Р — коэффициент, зависящий от вязких свойств системы. Если о0 = = 0 и с0 — начальное смещение системы, то следующее наибольшее по величине отклонение ах (достигаемое через полупериод колебаний)

определяют из	трансцендентного		уравнения
	;п (1 + рД1) -	ра1 =	1п (1 + ра0) - &а0.	(103)
Следующее	наибольшее	по величине отклонение а2 (достигаемое

по истечении еще одного полупериода) определяют из трансцендентного уравнения

1п (1 — ра2) раа = 1п (1 — РаО + Ра,

(104)

и т. д.

Для графического последовательного решения уравнений типа (102) и х.103) удобно воспользоваться стандартной кривой (рис. 21, а)


т] =1п(1 +Е)-6-			(Ю5)
Вычислив по данным задачи		= ра0, следует по стандартной
кривой найти соответствующее	значение Г\|0 (точка		А 0 справа от оси
ординат). Проведя через точку	А 0 горизонтальную		прямую, находим

точку А 1ъ определяющую значение | |р и вычисляем

(106)

Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы

263

Для определения: а2 нужно повторить то жепостроение, вновь от ложив модуль ^ справа от оси ординат и т. д. (см. рис. 21, б).

По этим данным можно построить огибающие кривых затухающих колебаний, если известен период колебаний; можно принять, что он ие отличается от периода свободных колебаний недемпфированной системы (рис. 22).

С и с т е м а с о с т е п е н н ы м з а к о н о м , н е у п р у г о г о

с о п р о т и в л е н и я	К = к у \| У \п~
Дифференциальное уравнение движения приводится к виду
У + - ^ 1) \ У \|Л-1 + Р*У = о,		(107)
где п — показатель	нелинейности; к — постоянный	коэффициент.

Вместо точного решения этого сложного уравнения приближенно при нимают

у = а $ т (р* + ф)

(108)

и находят переменную амплитуду колебании а = а (/) из дифференци-

щие значения:

п . .	0	0,5	1	1.5	2,0	2,5
ф (л)	2,000	1,750	1,571	1,437	1,333	1,249
п . .	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0
ф (л)	1,178	1,087	0,982	0,914	0,857

Уравнение (109) следует из энергетического соотношения: работа силы трения К за один цикл равна уменьшению энергии системы за этот цикл. При п Ф 1 решение дифференциального уравнения имеет вид

а	а0
	(1 1 1 )

(п— \)к{ра0)п 1Ф{п) ( пт

264Основы теории колебаний механических систем

Вчастности, при п = 2 затухание колебаний следует гиперболиче скому закону

а	До		( 112)
■ ,	4/грдр	г
“*■	З т л
С и с т е м а с к у л о н о в ы м	т р е н и е м .		Дифференциальное
уравнение движения приводится к виду
0 + Л ± - § - =		О,	<ПЗ)

где # — сила кулонова трения.

График движения в этом случае состоит из отрезков синусоид, имеющих одинаковый период, но различные амплитуды (рис. 23, о, фазовая траектория показана на рис. 23, б).

Связь между двумя последовательными максимальными отклоне ниями щ и а 1, разделенными интервалами времени, равными полу-

Х* + Т

Т п

периоду = — , имеет вид

*Р

а	! = —щ +	2Р,	(114)
где величина	/? _	*
			(115)
	тр2	с

формально представляет собой статическое смещение, вызываемое

силой трения 7?. Этот же результат следует из формулы (111) при

п = 0.

Последовательность амплитуд образует арифметическую прогрес

сию и огибающие графика движения имеют вид прямых
Д = ± (о 0 — - ^ г - ) .	(116)

Как только отклонение а станет меньше, чем {5, движение прекра щается.

Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы

265

С и с т е м а с н е л и н е й н ы м в н у т р е н н и м т р е н и е м . Внутреннее трение характеризуется рассеянием энергии Ф за один цикл, для многих материалов и целых конструкций можно принять, что ве личина У не зависит от частоты процесса и определяется формулой

У =	ааЛ+1,	(117)
где а , п — постоянные системы; а — амплитуда цикла.
В частности, при п = 0 и а =	4/? имеем V =	4/?а; это соответствует

задаче о колебаниях системы с кулоновым трением. В этом случае диф ференциальное уравнение верхней огибающей графика движения по

добно дифференциальному уравнению	движения	(109)
а +	0.	(118)

где с — коэффициент жесткости системы; Т — период колебаний (при ближенно равный периоду свободных колебаний недемпфированной

системы). Решением дифференциального уравнения (118)					при п =^= 1
будет			°о
	а		°о		(119)
		(п— \)а(		лП— 1
		+	------“о
			------“о
В	частности, при п ■- 0	и а =	4К (кулоново трение)		огибающая
имеет	вид прямой	Ш		40/
	а — а0 -	Ш	= а0 —	40/	( 120)
		сТ

При п = 2 (что приближенно соответствует закономерностям вну треннего трения для многих сталей) огибающая имеет вид кривой ан-

перболического	типа	До
	а =	До		( 121)
	! +	“	•*-’
	^	сТ
В случае п =	1 дифференциальное уравнение (118)			имеет решение
		_	—	(122)
	а — а^г		<т	(122)

и колебания убывают по экспоненциальному закону (как и в случае

вязкого трения).

Обработка опытных виброграмм на основе выражения (119) позволяет определить значения п и а, необходимые для расчета вынужденных ко

лебаний.

В системах с умеренным нелинейным трением логарифмический де

кремент определяется	соотношениями
6 =	1п Л ( _ *	=	(123)
	Д/+1	ДI	ЫЦ шах

где	и я/+1 — две последовательные амплитуды процесса свободных

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры