Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

* См. табл. 17.

Фрикционные автоколебательные системы

Автоколебаниями (или самовозбуждающимися колебаниями) назы­ вают незатухающие колебания, поддерживаемые за счет источников энергии, не обладающих колебательными свойствами. При автоколеба­ ниях переменная сила, поддерживающая движение, управляется самим движением и при прекращении движения исчезает.

В частности, автоколебания могут возникать в системах с нелиней­ ным сухим трением (фрикционные автоколебания, табл. 19); при этих автоколебаниях скорость скольжения колеблется около среднего зна­

чения о0.

19. Фрикционные автоколебания

268 Основы теории колебаний механических систем

Существенным условием появления фрикционных автоколебаний

сИ?

служит наличие падающего участка характеристики трения, где

<3 0 (см. табл. 4, сухое трение, нижний график). Отличительной чертой автоколебании является независимость их амплитуды и частоты от на­ чальных условий. На рис. 24 показаны огибающие кривые у = у {() при различных начальных условиях.

Дифференциальное уравнение возмущенного движения имеет вид

трения, возникающее из-за изменения скорости скольжения; на падаю­ щем участке характеристики эта разность отрицательна ^отрицатель­ ное» демпфирование, способствующее раскачке колебаний).

Точное решение уравнения (119), как правило, затруднительно. Для упрощения решения в зависимости от параметров системы

пользуются одним из двух приближенных способов.

1. При весьма крутом падении характеристики трения и значитель­ ной жесткости упругой связи в уравнении (119) можно пренебречь инер­ ционным слагаемым, т. е. рас­ сматривать вырожденную безмассовую систему и решать диф­ ференциальное уравнение пер­ вого порядка

Я(о0) — я (Но —

-у ) + Ч/ = 0. (126)

Закон автоколебания такой системы существенно отличается

от гармонического, и возможны интервалы полного сцепления (отсут­ ствия скольжения, рис. 25); такие автоколебания называют разрыв­ ными (из-за разрывов скорости), или релаксационными.

2. При умеренно крутом падении характеристики и упругой связи небольшой жесткости принимают, что автоколебания носят гармониче­ ский характер и происходят с частотой р свободных колебаний той же системы (но без трения)

В этом случае систему называют квазилинейной. Для определения амплитуды установившихся автоколебаний используют уравнение энергетического баланса

2л

о

выражающее равенство нулю работы силы трения за один цикл коле­ баний.

В уравнение (128) вместо скорости у следует подставить ее выраже­

причем Я, и у# — сила трения и скорость, соответствующие точке минимума характеристики. В этом случае

Я (у„) =ЗЯ, X

„3

Я(у0 — у) = 3 Я' X

Уо— У , (Ур — У)8

следовательно,

аЯ = 3я .

Подставляя это выражение в уравнение (128). имеем

2я

Р

1Н - 4Ь *-ь У 41 = 0

или после подстановки выражения (120)

2л

ар 51П* ф — агр251П4 ф <*ф = 0.

0 *

Отсюда амплитуда автоколебаний

( 131)

При этом наибольшая скорость автоколебаний

не должна превосходить номинальную скорость скольжения о0 [при Утак —

= у0 произойдет остановка и процесс уже недопустимо описывать зависи­ мостью (130)]; поэтому условия существования квазилинейных автоколебаний

имеют вид двух неравенств

При нарушении правого неравенства автоколебания невозможны, при нарушении левого неравенства они будут носить релаксационный характер.

фазовые траектории являются интегральными кривыми дифференци­ ального уравнения первого порядка

у

Для графо-аналитического построения фазовых траекторий удобен делыпа-метод, согласно которому траектории строят на фазовой пло­ скости у, V, причем

Р

Далее вводят функцию

(136)

которую в малых интервалах времени можно считать постоянной, при этом дифференциальное уравнение (134) может быть проинтегрировано

ными условиями. В соответствии с выражением (136) по этим значениям вычисляют б0 = б {уо, V0); найденное значение определяет центр ок­ ружности, описываемой уравнением (137). Далее по ходу часовой стрелки проводят малую дугу окружности, начинающуюся в точке Уо» (рис. 27). С чертежа снимают новые значения ух, вновь под-