258 Основы теории колебаний механических систем
/г— п-1
Результаты вычислений коэффициентов при у — д 2 для различ
ных значений л даны в табл. 16. Приведенные в табл. 16 точные значения ф (л) вычислены по формуле для случая 3 в табл. 14.
|
л—1 |
16. Результаты вычислений коэффициентов при |
а 2 |
В случае несимметричной упругой характеристики следует учиты вать, что отклонения системы в обе стороны от положения равновесия
будут различными. Модули указанных отклонений а+ и |
(рис. |
17) |
|
связаны между собой соотношением |
|
|
|
| |
Р{У)<1у = 0, |
(83) |
|
нз которого можно выразить одно |
|||
из отклонений через |
другое. |
||
Среднее |
положение |
системы |
|
(центр колебаний) смещено влево от начала координат на отрезок
Д = у (а_ — а+) |
(84) |
и полуразмах колебаний |
|
1 , |
(85) |
а = у ( а . ~Ьо+). |
Частоту свободных колебаний определяют по приближенной формуле
а |
|
1 р й - ^ У за!> |
(86) |
(по способу прямой линеаризации), или 2я
Колебания нелинейных систем с одной степенью свободы |
259 |
(первое приближение по способу Бубнова-Галеркина или Кры Богомолова).
Вынужденные колебания систем без трения. Дифференциальное уравнение колебаний приводится к виду
ту +Р(У) = Р (/), |
(88) |
где Р (/) — возмущающая сила (или приведенное кинематическое воз мущение — см. формулу (35)]. Точное решение этого уравнения затруд нительно. В случае гармонического возмущения
|
|
Р (0 = Л> |
©/ |
(89) |
при симметричной упругой характеристике в первом приближении при |
||||
нимают |
закон |
движения |
|
|
|
|
у = а 5ш со/. |
|
(90) |
Для определения амплитуды а можно воспользоваться одним из |
||||
трех способов. |
потребовать, чтобы решение (90) удовлетворяло дифферен |
|||
1. |
Если |
|||
циальному уравнению (88) только в положении равновесия и в крайних
отклоненных положениях системы, то для определения а получи нелинейное алгебраическое уравнение
|
|
Р (а) — шасо2 = Р0. |
(91) |
|
2. |
По способу прямой линеаризации амплитуду а определяют из |
|||
нелинейного |
алгебраического |
уравнения |
|
|
|
|
а = |
т [р * (о )— шг] ’ |
(92> |
где р2 (а) — функция амплитуды по формуле (78). |
|
|||
3. |
По способу Бубнова-Галеркина (а также по способу Крылова- |
|||
Боголюбова) |
амплитуду а находят из уравнения |
|
||
|
|
2л |
|
|
|
|
| Р (а з т ф) 5Ш ф Лф — шаш2 = Р0. |
(93) |
|
Типичная зависимость а = а (<о) (амплитудно-частотная характе ристика) для случая жесткой упругой характеристики при некотором фиксированном значении амплитуды возмущающей силы показана на рис. 18, а. Здесь же штриховой линией изображена скелетная кривая —
260 Основы теории колебаний механических систем
зависимость а (р) для задачи о свободных колебаниях (т. е. при Р 0= 0); с уменьшением амплитуды Р0возмущающей силы обе ветви амплитудночастотной характеристики приближаются к скелетной кривой.
При достаточно больших значениях частоты возмущения со решение неоднозначно: данной частоте со соответствует три значения амплитуды а колебаний. Устойчивыми являются колебания с наибольшей или наи меньшей амплитудой, колебания с промежуточным значением ампли туды неустойчивы и в действительности не реализуются.
|
На рис. 18, б сплошными ли |
|||
|
ниями показаны только устойчи |
|||
|
вые ветви амплитудно-частотной |
|||
|
характеристики. |
Штриховыми |
||
|
линиями |
показано |
изменение |
|
|
амплитуды колебаний при посте |
|||
|
пенном увеличении |
частоты воз |
||
|
мущения |
от нуля |
до значения |
|
|
со = о)* и |
последующем умень |
||
Рис. 19 |
шении частоты |
возмущения до |
||
|
нуля. Одним из |
отличительных |
||
свойств вынужденных колебаний механических систем являются рез кие изменения амплитуды («срывы») при малых изменениях частоты возмущения, как это видно из рис. 18, б.
Амплитудно-частотная характеристика, типичная для систем с м кой нелинейностью, изображена на рис. 19.
Уравнениями (91)—(93) можно пользоваться и в случае, когда
амплитуда возмущающей силы пропорциональна квадрату |
частоты: |
Р0= а©2. |
(94) |
В этом случае амплитудно-частотная характеристика а (со) имеет более сложный вид, чем показано на рис. 19 или 20.
<*)
Р и с. 20
При действии возмущающей силы (89) на нелинейную систему коле бания с частотой возмущения © сопровождаются ультрагармониче-
скими колебаниями, имеющими более высокие частоты 2©, 3©,
а также субгармоническими колебаниями с частотами —■©, -^- ©,
2 о
Для определения амплитуд ультра- и субгармонических колебаний необходимо отказаться от описания колебаний законом (90) и строить высшие приближения. В частности, это можно сделать при помощи метода Бубнова-Галеркина, приняв выражение установившегося про цесса вынужденных колебаний в виде суммы
У = аж (0 + а2у2 (/) -1-------- 1- апуп (О, |
(95) |