Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания систем с несколькими степенями свободы

281

случаях (например, если каждый упругий элемент системы является одновременно носителем вязких свойств, причем отношение коэффи циентов жесткости и коэффициентов вязкости одинаково для всех таких элементов системы).

Вынужденные колебания

Формы дифференциальных уравнений движения. В общем случае, когда заданы возмущающие силы

		Р1=Р1«У' Р2=Р2 (0;					•	Р п= Р п((),			(173)
действующие по направлениям 1= 1, 2,									дифференциальные
уравнения движения имеют вид
		тУ1 + 2	П м =		(0		(I = 1 ,2 , .		. , п)		(174)
		к =	1
(прямая форма) или
		№ + 23 Ъьтиуь =					23	(П			(П5)
(обратная форма).			к=1				Л=1
(обратная форма).								движения.		Решение си
	Решение	дифференциальных			у р а в н е н и й			движения.		Решение си
стемы (174)		[или системы (175)1 можно представить в виде разложения
по	собственным формам				п
					п
				=			(0 ;
				к= 1
					п
			Уг = 2 ] а2А<7л(0;								(1 7 6 )
				к= 1							(1 7 6 )
					п
			Уп =		2	йпкЯк (0.
				Аг=1
где	ацг — амплитуды		нормированных собственных						форм		колебаний
[при условии нормирования				(164)],			а функции ^		(/)	определяют из
системы дифференциальных				уравнений
						п
			«1 + Р1?1 =			2 ] аМР * (0 ;
						к =	\
						п
			<72"1"Р^2 =			2	акчРк (О!				(177)
						к =	\				(177)

Яп+Р\чп = ^ а кпРк {1),

к = 1

282 Основы теории колебаний механических систем

где р1г р2, . . рп — собственные частоты. Способы решения уравне ний (177)"при любом виде правых частей см. стр. 245—250.

Если силы Я/ (0 изменяются по синфазным гармоническим законам с общей частотой (о, т. е. заданы в виде

Р 1 = Р 01

0)/; Р й = Р 0251П (О/, .

. , Р п = Р 0 п 51П со/, (178)

то решением любого из уравнении (177) служит сумма

2	Р о к а Ы
= Щ ------ 5" <■><		(179)

Р: ~ ш

ивместо выражения (179) получаем

пп

2	2	а Ы р оЬ
У1 = 5=1	*=1	о------	5Ш (*1.	(180)

В этом случае амплитуды колебании могут быть также найдены непосредственно, если положить в системах (174) или (175)

Ус = Ас 5Ш <в/.

(181)

Амплитуды А( определяют из системы алгебраических уравнений

— 1ЩА1СО2 + 2	п кАс = Р 10	(182)
к =	1

(прямая форма) или

пп

А с — юа 2	&1кт к А с = 2 Ь с к Р к о	(183)
к= 1	к= 1

(обратная форма).

Пример 10. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 29, если к первой массе приложена возмущающая сила рх = Р0 з1п ы1. В данном случае можно пользоваться системой уравнений (182):

—/П1Л 1 0 * + (с1 + ся) А \ —

—с 2 А 1 = Р0‘,

тяА — сЯА | сяА з = 0,

или системой уравнений (183):

Рис. 31

Колебания систем с несколькими степенями свободы				283
После решения любой из этих систем получаем
А,=	Р0 {с2 — тсо»)	Са	Ль	(184)
А,=	(С1 + с2 ~ ш1(°2) (с2 ~ ш2<°2) с2	с- —	Ль	(184)
	(С1 + с2 ~ ш1(°2) (с2 ~ ш2<°2) с2	7
Если о> = 1 /^Ц то амплитуда колебаний		первой массы	равна	нулю
	V т

(антирезонанс первой массы). При этом амплитуда Л 3 колебаний второй ^ассы

		.	Р0
составляет А 2 = —
			сз
Зависимость амплитуды колебаний нерпой массы от частоты возмущающей
силы для		случая с1 = с. =		с. тг = т 2 =	т, Р0 = 1 показана	на рис. 31.
	При ев =		0,618 1 / ^ - и	а = 1,62 ] /	вознпкаст резонанс,	а при о) =
= 1/ Х		-	антирезонанс.
г	т

Действие сил вязкого сопротивления. При гармонических возмущаю щих силах (178) влияние сил вязкого сопротивления выражается в двух основных эффектах:

фазы колебании различных точек системы не совпадают между собой и отличаются от фазы возмущающих сил;

амплитуды колебании точек системы меньше соответствующих ампли туд системы без трения и всегда конечны (включая резонансные условия).

Амплитуды вынужденных колебаний определяют путем подстановки решения

У1 = А( $ш (со* — <р/) (/ = 1 ,2 ,.	. ,	п)	(185)
в дифференциальные уравнения движения.
Вместо выражения (185) можно также принять
У1 = сц 5Шсо* Ь[ с0$ со* (I = 1,2, .		., л).	(186)

Пример 11. Определить амплитуду колебаний системы, показанной на рис. 29 после введения гасителя (рис. 32). если на первую массу действует

возмущающая сила Р\=Рр з1п со/. Дифференциальные уравнения дви

жения

0*11/1 +	СхУх+ Ся (У 1 —		Д *)+ -
+ к (уг — у я) = Р о 51П			о>/;		(187)
ШгУг + сг (уя — у х)+					(187)
ШгУг + сг (уя — у х)+
+	к (ул -	у\) = 0.
Решение		системы (187) разыскивают в виде
				у \| =	ах $1п	«о! +	Ьх со5 со/;
				Уя =	а я 51П	оз/	к я С05 со/.
После подстановки решения (188) в уравнения (187) получаем
[—Мхах®3 + (сх +				Ся) 01	— сгая — Л6,со — кЬгсо —			з!п о>/ +
+	[—тхЬх<й* + (Сх + с,) Ьх — СяЬг + ках(й — 6а2со] соз со/ = 0;
	(—т 2а 2ооя +			е2а2 — с2Я1		— кЬ2со + А6,со]51П со/ +
	4- [—ШяЬя^1 +			сгЬг — сгЬг + Ла2со — Ла,©] соэ со/ = 0.

284 Основы теории колебаний механических систем

Каждое из выражений, стоящих о квадратных скобках, должно быть равно нулю (для тождественного удовлетворения обоих уравнений); это дает четыре алгебраических уравнения для определения 01, ая, Ьх, Ья. Амплитуда колебаний первой массы оказывается равной

Л1= УГа1 + *1 =

_________________________________ Р 0 ] /~ ( г , — /71,0)»)1 + к 2 (й ш______________________________

/ [ ( —		4- с1) (с2 — т2(йг) —тгся<лгУ + Л ,(0* (—/п»©1						~	тясо*)1
									(189)
Аналогично может быть найдена амплитуда колебаний второй массы по
формуле
					л2 = ] / а\ + ь\.
						ЛИТЕРАТУРА
1.	А н д р о н о в			А.	А.,	В и т т А. А.,	X а й к и н	С. Э.. Теория
колебаний.		М., Фнзматгнз, 1956.
2.	Б а б а к о в		И. И. Теория колебаний. М.. ГИТТЛ, 1958.
3.	Д е н - Г а р т о г				Д ж.	Механические	колебания.	М.,	Фнзматгнз,
1960.	И о р и ш Ю. И.				Внброметрия. М.. Машгиз, 1960.
4.	И о р и ш Ю. И.				Внброметрия. М.. Машгиз, 1960.
5.	К а н и нг х э		м	В. Введение в теорию нелинейных систем. М., Гос-
энергонздат,		1962.	Г.		Нелинейная механика. М., ИЛ, 1952.
6.	К а у д е р е р		Г.		Нелинейная механика. М., ИЛ, 1952.
7.	К и н	Н.Т он	г.		Теория механических колебаний. М., Машгиз, 1963.
8.	Л о й ц я нс к и й				Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической меха
ники.	Изд. 5-е, т. 2, Гостехнздат, 1955.							колебаниях. М.,
9.	П а и о в к о		Я	Г. Внутреннее трение при упругих				колебаниях. М.,
Фнзматгнз,		1960.	Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.
10. П а и о в к о			Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний.
М., «Машиностроение»,				1967.

11.П о н о м а р е в С. Д. н др. Расчеты на прочность в машиностроении.

Т.3, разд. 2, М., Машгиз, 1959.

12.С то кс р Д ж. Нелинейные колебания в механических и электри ческих системах. М., ИЛ, 1952.

13.Т и м о ш е н к о С. П. Колебания в инженерном деле. М., Фнзматгиз, 1967.

14.Ф и л и п п о в А. 11. Колебания механических систем. Киев, изд-во «Наукова думка», 1965.

15.	Вульфсон И. И., Коловскнй М. 3. Нелинейные задачи д и н а м и к и
машин.	Л., «Машиностроение», 1968.

16.Днментбсрг Ф. М., Шаталов К. Т., Гусаров А. А. Колебания ма шин. М., «Машиностроение», 1964.

17.Коловскнй М. 3.. Нелинейная теория виброэащитных систем. М., «Наука», 1966.

18.Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбужде нием. М., «Наука». 1964.

19.ЗЬоск апй у!ЬгаЫоп ЬапйЬоок, N . У. 1961, V. 1.

См. также литературу к гл. 5.

Глава 5

СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ)

Общие сведения

Ниже рассмотрены задачи о колебаниях стержней, представляющих собой систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и, соответственно, обладает бесконечно большим числом соб ственных частот и собственных форм колебаний.

Собственная форма колебаний Х& (х) представляет собой функцию координаты х сечения стержня, описывающую конфигурацию системы при ее моногармоническнх колебаниях с собственной частотой рь. Такие колебания называют главными, они происходят по закону

	Чк (х,1 )= Х к (х)Тк (1),		(1)
где	Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,)		(2)
	Тк (I) = Ак 51П (рк1 + ф,)		(2)
есть функция	времени, содержащая постоянные Аь и ф&,		связанные
с начальными	условиями. При этом	(х, I) имеет смысл	характер

ного перемещения сечения: продольного перемещения иь (х, 0 в задачах

о	продольных колебаниях, углового перемещения фд (х, 1)	в	задачах
о	крутильных колебаниях или поперечного перемещения о&	(х,	0 в за

дачах об изгибных колебаниях. Колебания типа (1) возникают при специальном задании начальных условий (см. ниже); при произвольно заданных начальных условиях колебательный процесс представляет собой сумму главных колебаний

Ч(х, 1) = ^ Х к(х)Тк (().	(3)
к= 1
Собственные частоты образуют бесконечный спектр	р2, . .

цифры, стоящие в индексах, располагают так, чтобы выполнялись неравенства

Р\ < Ра < Рй < -----

(4)

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры