236Свэбодные и вынужденные колебания стерокней
Взадачах о продольных или поперечных колебаниях собственные
формы удовлетворяют условиям ортогональности I
| т (х) X; (х) Хь (') дх = 0 при I ф к\ |
(5) |
о |
|
здесь т (.х) — интенсивность распределенной массы стержня. Если кроме распределенной массы со стержнем связаны сосредоточенные массы т5, расположенные в сечениях с абсциссами х$, то условия ортогональности имеют вид
I |
|
|
| т (х) Х( (х) Хк (х) йх + |
2 ] т**1 (х5) Хк (х5) = 0. |
(6) |
0 |
5 |
|
В задачах о крутильных колебаниях условия ортогональности при нимают форму
I
]/(х )Л ,(* )Х * (х )Л с = 0 , |
(7) |
0 |
|
где-/ (х) — полярный момент инерции единицы длины стержня отно сительно его оси.
При наличии сосредоточенных по длине стержня дисков с полярными
моментами инерции / 5, расположенными в сечениях с абсциссами |
х5, |
|
условия ортогональности имеют вид |
|
|
I |
|
|
| / (*) X,. <*) X* (*) йх + |
2 / Л (*«) *к (лг5) = 0. |
(8) |
0 |
6 |
|
Масштаб собственных форм колебаний может быть принят произ вольно. Удобно выбрать этот масштаб так, чтобы выполнялись условия нормирования
I
| т (х) Х\ (х) дх + |
^ |
т5Х\ (х5) = |
1 |
(9) |
и |
5 |
|
|
|
(в задачах о продольных или поперечных колебаниях); |
|
|||
/ |
|
|
|
|
|/( * ) Х * ( * ) Л * + |
2 |
7.Х ?(*,) = |
1 |
(10) |
0 |
5 |
|
|
|
(в задачах о крутильных колебаниях).
Узлами к-й собственной формы называют неподвижные сечения * стержня, совершающего /г-е главное колебание с частотой рк. Число узлов к-й собственной формы равно к — 1; узлы двух смежных собствен ных форм перемежаются.
* Кроме сечений, неподвижность которых обеспечивается наложена связями.
Свободные колебания (точные исследования) |
287 |
Продольные и крутильные колебания стержней; поперечные колебания струн
Основные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а также для поперечных колебанй струн приведены
втабл. 1 (сечение постоянное, масса распределена равномерно).
Об о з н а ч е н и я : Р, Уп— площадь и полярный момент инерции поперечного сечения; р, Я, О — плотность и модули упругости мате
риала стержня; и = и {х, /); V = V (х , /), <р = ср (х, () — продольное и поперечное перемещения и угол поворота текущего поперечного се чения х в текущий момент времени /; /л*, У* — масса н момент инерции груза, соединенного с концом стержня; с — жесткость упругой связи, находящейся на конце стержня.
Для определения спектра собственных частот нужно записать гра ничные условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух уравнений относительно постоянных Сь и Як- Далее фор мулируют условие существования ненулевых решений для Си и йь. Таким образом, получается уравнение частот; корни этого трансцендент
ного уравнения и являются искомыми |
частотами. После этого |
обра |
|
зуются собственные формы колебаний. |
|
|
|
Пример I. Определить собственные частоты и формы продольных колеба |
|||
ния консольного стержня (левый конец х = |
0 закреплен, правый конец х = |
||
= / — свободный). |
|
|
|
Граничное условие на левом конце: |
0. |
|
|
Х'(0) = |
Эк = |
|
|
Граничное условие на правом конце |
|
|
|
Х ‘ <0>= с* 4 г “ »-^Г- |
|
||
Частотное уравнение |
|
|
|
Р{Л |
|
|
|
С 0 5 — — = 0 . |
|
||
Его корни |
а |
|
|
Л(2к — \)а |
|
||
Рк=- |
21 |
|
|
Собственная форма колебаний |
|
|
|
Х к (х) = Ск б1п Я (2 к — 1) х |
|
||
|
|
21 |
|
Результаты для различных комбинаций граничных условий |
даны |
||
в табл. 2 (данные относятся как к продольным, так и к крутильным
колебаниям).
В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением попе речного сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосре доточенные массы или сосредоточенные упругие связи, удобно поль зоваться методом начальных параметров и нормировать не собствен
ную форму колебаний Х&, а функцию времени |
Тк: |
Г* = 81п (р * '+•?*)• |
(,1) |
При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний, постоянные Си и Ьк выражают через начальные параметры и собственную форму записывают в виде
“ м - - д а “ " 1 Г (продольные колебания);
290Свободные и вынужденные колебания стержней
2.Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний
для некоторых граничных условий
Схема стержня |
Собственные частоты |
Собственные формы |
|||||||
колебаний |
|||||||||
1 |
|
рк ~ |
|
я (2к — 1) |
|
Хк <ЛГ>= |
|||
1------------------- |
|
|
21 |
|
- с к * « |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
Частотное уравнение • |
|
||||||
1------------------- • |
Р1 |
{ |
|
р1 |
= |
РР1 |
х к 1х) |
= с к 5,п |
|
а |
* |
|
а |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
кпа |
|
х к (х>= Сл5Щ -*^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I------------------- I |
|
Р* = — |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
ч |
|
Частотное уравнение |
|
Рь» |
|||||
1--------------- |
,В - Ё - - Е 1 - ____ ё ! . |
Хк М = С к зШ - г - |
|||||||
* |
а |
' |
а |
|
Л |
|
|
||
* |
Значения низшего корня частотного уравнения даны в табл. 3. |
||||||||
|
3. Значения низшего корня |
частотного уравнения |
|||||||
|
|
для |
схемы |
2 |
табл. |
2 |
|
||
рР1 |
Р1* |
рР1 |
|
|
|
Р11 |
РР1 |
р!1 |
|
ш. |
а |
т. |
|
|
|
а |
т, |
а |
|
со |
1,57 |
3 |
|
|
|
|
1,20 |
0,50 |
0,65 |
100 |
1,56 |
2 |
|
|
|
|
1,08 |
0,30 |
0,52 |
20 |
1,62 |
1,5 |
|
|
|
0,98 |
0,20 |
0,42 |
|
10 |
1,42 |
1,00 |
|
|
|
0,86 |
0,10 |
0,32 |
|
5 |
1,32 |
0,90 |
|
|
|
0,82 |
0,05 |
0,21 |
|
4 |
1,27 |
0,70 |
|
|
|
0,75 |
0,01 |
0,10 |
|