Свободные колебания |
(точные исследования) |
291 |
|||
|
М0а |
|
рх , — |
рх |
(13) |
Ф(*) = |
р^^р |
8111 -------^ ф0 С08—— |
|||
|
а. |
а |
|||
(крутильные колебания).
В выражеииях_(12) и (13) иа и ф0 — начальные смещения (линейное
и угловое); №<> и М0 — начальные усилия (продольное усилие н крутя щий момент); все эти величины относятся к сечению х = 0 в момент времени, когда Т (() = 1. Выражениям (12) и (13) соответствуют выра жения для внутренних усилий в текущем сечении
Л/(л) = Л?0соз — |
"яЕРР. 51П №. |
(14, |
|
а |
а |
а |
' ' |
(продольные колебания) и |
|
|
|
М (х) = М0 соз — — |
|
* . л * . |
(15) |
а |
|
|
|
(крутильные колебания).
Поясним дальнейшие выкладки на примере продольных коле баний.
С помощью выражении (12) и (13) образуются последовательные
соотношения для конца |
первого участка длиной |
|
||||||
|
|
М0а |
|
р1\ |
, |
- |
рк> |
|
|
и‘ = ^ Ж 1 |
$ ,а — |
+ |
а1>са!1 Г- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
а |
* |
здесь |
— площадь сечения на первом участке; затем для конца вто |
|||||||
рого |
участка |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
N1 а |
|
ри |
, |
- |
ри |
|
|
иг = |
^ |
5 |П - г |
+ |
“1С 05 — |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
и т. д. до конца стержня. |
_ |
_ |
|
|
|
|
||
Таким способом величины ип и Мп для концевого сечения выражают через начальные параметры. В этих соотношениях будут содержаться
величины «о, Ъп, N0 и из которых какие-либо две^равны нулю (в за
крепленном сечении и = 0, в свободном сечении N — 0); уравнение частот получают из условия, что остальные две из указанных величин не равны нулю.
Свободные колебания (точные исследования) |
293 |
Взадачах о крутильных колебаниях аналогично соотношениям
(16)и (17) получаем
|
М0а |
Рк_ |
|
Рк. |
|
|
|
рСЗр ' |
а |
|
а |
(19) |
|
М х = М0 С05 — |
— Фо |
|
51П — |
|||
а |
|
|||||
|
|
а |
|
а |
|
|
— |
М-уз. |
р1п |
— |
р1п |
|
|
^ = |
Ш |
7 5т ~ ^ +41005 а : |
(20) |
|||
Мо —М1 соз — |
|
|
$1п Ек |
|||
— фх |
а |
|
||||
|
1 |
а |
^ 1 |
а |
|
|
ит. д.
Всечениях, где имеется сосредоточенный диск, обладающий по
лярным моментом_инерцин / 5, следует учесть разрыв в значениях кру тящего момента М:
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
(см. пояснение к выражению (18)]. |
|
|
|
|
|||
Пример 4. Составит^уравнения частот для вала, |
показанного на рнс. 3. |
||||||
На левом конце Бала |
М 0 = 0] поэтому по выражениям |
(19) |
|||||
|
ф , = фо СОЕ |
Р1 . |
|
|
|
|
2^^ /■ / |
|
___ — РС*р з1п р1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
На |
правом конце |
Л*1+=0; |
|
|
|
Рнс. 3 |
|
гласно |
выражению (21) |
|
|
|
|||
|
|
вт-%- + |
|
соз |
= |
0. |
|
Условие Фо чЬ 0 приводит к |
частотному |
уравнению |
|
||||
|
|
. |
Р1 |
р1 |
|
|
|
|
|
1д — = х — |
|
|
|
||
Значения наименьшего отличного от нуля корня этого уравнения сле дующие:
X . . |
0 |
0,5 |
1,0 |
10 |
со |
ЕЕ |
3,14 |
4,26 |
4,50 |
4,69 |
4,71 |
а |
|
|
|
|
|
294 Свободные и вынужденные колебания стержней
Изгибные колебания стержней
Дифференциальное уравнение изгибных колебаний стержня посто янного сечения имеет вид
|
|
Е4 |
д*о |
д2У |
_ |
|
(22) |
|
|
т |
дх* + |
д(3 |
“ |
’ |
|
|
|
|
|||||
в котором |
у = у (х, |
/) — прогиб текущей |
точки оси стержня; |
ЕЗ — |
|||
изгибная |
жесткость |
сечения |
балки; |
т — интенсивность массы |
балки |
||
(масса единицы длины). |
|
|
|
|
|
||
Частное решение дифференциального уравнения (22): |
|
||||||
|
|
»к(х, |
1) = Хк (х)Тк (1), |
(23) |
|||
причем функция времени |
|
|
|
|
|
||
|
|
Тк(1)= Ак %т{рк1 + % ) |
(24) |
||||
описывает течение колебательного процесса во времени ('рк — собствен ная частота колебаний), а функция координаты х
Хк (х) = С1($ (ах) + С2Т (ах) + С3V (ах) + СЛУ (ах) |
(25) |
представляет собой собственную форму колебаний. В выражение (25) входят следующие функции Крылова:
5 (ах) = (сЬ ах + соз ад:);
Т (аде) — |
(зЬ ад: + з т ад:); |
(26)
V (ах) = -у - (сЬ ад: — соз ад:);
V (ад:) = |
(зЬ си — з т си), |
причем
(27)
Значения функций Крылова приведены в табл. 4. Последовательные производные функции X (ж) по переменной ж
имеют вид
X' (ж) = а [С,К (аж) + С2$(аж) + С,Т (аж) + С.11 (аж)]; |
|
X"(ж) = а2 [С,У (аж) + С2К(аж) + С35 (аж) + С.Т (аж)]; |
(28) |
Х'"(ж)= а»]С1 Г(аж) + С2У (аж)+ С3У(аж)+ С4$(аж)]. |
|
|
Свободные колебания |
(точные исследования) |
295 |
|||
|
4. |
Значения функций |
Крылова |
|
||
|
5 |
(алг) |
|
Т (ах) |
V (ах) |
V (ах) |
0,00 |
1,00000 |
|
0,00000 |
0,00000 |
0,00000 |
|
0,01 |
1,00000 |
|
0,01000 |
0,00005 |
0,00000 |
|
0,02 |
1,00000 |
|
0,02000 |
0,00020 |
0,00000 |
|
0,03 |
1,00000 |
|
0,03000 |
0,00045 |
0,00000 |
|
0,04 |
1,00000 |
|
0,04000 |
0,00080 |
0,00001 |
|
0,05 |
1,00000 |
|
0,05000 |
0.00125 |
0,00002 |
|
0,06 |
1,00000 |
|
0,06000 |
0,00180 |
0,00004 |
|
0,07 |
1,00000 |
• |
0,07000 |
0,00245 |
0,00006 |
|
0,08 |
1,00000 |
0,08000 |
0,00320 |
0,00009 |
||
0,09 |
1,00000 |
|
0,09000 |
0,00405 |
0,00012 |
|
0,10 |
1,00000 |
|
0,10000 |
0,00500 |
0,00017 |
|
0,20 |
1,00007 |
|
0,20000 |
0,02000 |
0,00133 |
|
0,30 |
1,00034 |
|
0,30002 |
0,04500 |
0,00450 |
|
0,40 |
1,00106 |
|
0,40008 |
0,07999 |
0,01062 |
|
0,50 |
1,00261 |
|
0,50026 |
0,12502 |
0,02084 |
|
0,60 |
1,00539 |
|
0,60064 |
0,18006 |
0,03606 |
|
0,70 |
1,01001 |
|
0,70190 |
0,24516 |
0,05718 |
|
0,80 |
1,01702 |
|
0,80273 |
0,32036 |
0,08537 |
|
0,90 |
1,02735 |
|
0,90492 |
0,40574 |
0,12159 |
|
>.0 |
1,04169 |
|
1,00833 |
0,50139 |
0,16686 |
|
1.^ |
1,06106 |
|
1,11343 |
0,60746 |
0,22222 |
|
1,2 |
1,08651 |
|
1,22075 |
0,72415 |
0,28871 |
|
1,3 |
1,11920 |
|
1,33097 |
0,85170 |
0,36691 |
|
1,4 |
1, 16043 |
|
1,44487 |
0,99046 |
0,45942 |
|
1,5 |
1,21157 |
|
1,56338 |
1,14083 |
0,56589 |
|
1/2я |
1,25409 |
|
1,65015 |
1,25409 |
0,65015 |
|
1,6 |
1,27413 |
|
1,68757 |
1,30333 |
0,63800 |
|
1,7 |
1,39974 |
|
1,81864 |
1,47832 |
0,82698 |
|
1,8 |
1,44013 |
|
1,95801 |
1,66823 |
0,98416 |
|
1,9 |
1,54722 |
|
2,10723 |
1,87551 |
1,16093 |
|
2,0 |
1,67277 |
|
2,26808 |
2,08917 |
1,35828 |
|
2,1 |
1,82973 |
|
2,44253 |
2,32458 |
1,57937 |
|
2,2 |
1,98970 |
|
2,63280 |
2,57820 |
1,82430 |
|
2,3 |
2,18547 |
|
2,84133 |
2,85175 |
2,09562 |
|
2,4 |
2,40978 |
|
3,07085 |
3,14717 |
2,39537 |
|
2,5 |
2,66557 |
|
3,32433 |
3;46671 |
2,72586 |
|
2,6 |
2,95606 |
|
3,60511 |
3,81295 |
3,08961 |
|
2,7 |
3,08470 |
|
3,91682 |
4,18872 |
3,48944 |
|
2,8 |
3,65520 |
|
4,26346 |
4,59747 |
3,92846 |
|
2,9 |
4,07181 |
|
4,64940 |
5,04277 |
4,41016 |
|
3,0 |
4,53883 |
|
5,07949 |
5,52882 |
4,93837 |
|
3,1 |
5,06118 |
|
5,55901 |
6,06032 |
5,51743 |
|
я |
5,29597 |
|
5,77437 |
6,29597 |
5,77437 |
|