Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Дифференциальные уравнения колебаний пластинок								371
М12= -	1 - *	п	ГЯ\|	Л / '	1	аДО >	,
	2	°	Но ■дхг ^ я?:			\| А	дх1 \|
	Ог =			д	Адо;	Р2 - 4	_д_	(3)
	Ог =		° ж	’дх,	Адо;	Р2 - 4	*дх2	(3)

Если толщина Л является дважды дифференцируемой функцией координат хх, х2, то дифференциальное уравнение колебаний примет вид

		1 — V		~Н2 дО	(	1	Л	( 1		да) \
А (Л Дои) — ИуНг			^дхг	Н\ 'дхх 1н2 ’ дх2 \ ~Щ"д72)
	1	дН2 . да) \		дБ			/	!	да) \
+ ■я?я2		дхг	дГг)	дх2 (я ,		’ал-! и,'ш :)
1		да) \ 1		\Н 1 ао		/ »	_а_ /		1	да)
н\н. ’ дх2 *аТГ)]				Н2		( я ;	дхг \ ИХ'дГх
1	1	дНх	дш \	дй /_1_		_д_ ( ±			да) \
Т~ я,я=		дх2 ' дГг )		дхх ( Я2 ’ дх2 \Нг
		1	дН2	да) \ ])	,	, дЧ-а)				(4)
						"Л42 — 7-				(4)

Связь моментов с прогибом выражают формулами (2). Связь перере зывающих сил с прогибом принимает вид

		,	( 1	дй	г 1	а	( 1	аш\
				дхх	я а	алг2 \# 2
1	дН2	да	1	дЭ Г	1	а	/' 1	адо \
* гг2гг	ЛV*	ЛV.	Я2	дх2	Я,	дхх	\, я а
		1	дН1 да) Ц
		Н\Н2
		- V )	1	дР	Г_1___ д_			(5)
		- V )	И* ' дхо		Я \|	’ дхх \ Нх		' дхх)

372	Колебания пластинок

Граничные условия. На каждом краю пластинки может быть задан один из четырех видов однородных граничных условий. Эти виды для края хг = соп51 определяются всеми возможными комбинациями следующих двух условий:

и» = 0 или

= <?, +

= 0;

дх1= 0 или Мп1 = О

Наиболее распространенными являются следующие условия: защемленный кран

д&	_
и) = —— = 0;
дх]
свободный кран
II	II о
опертый край (условия Нанье)
II 3	о II

(С)

(7)

(8)

Другие виды краевых условий (упругая заделка и др.) отличаются от перечисленных тем, что для них краевые усилия (и моменты) могут совершать работу на перемещениях пластинки.

В качестве примера более сложных граничных условий можно при вести условия упругой заделки

ш+ а(?;=0; ^ + рМп =0.

(9)

где а, р — постоянные.

Уравнение колебаний изгиба пластинки, в срединной плоскости ко торой действуют начальные усилия. Пусть в плоскости пластинки дей ствуют усилия ЛГи , N22 и # 12. Тогда дифференциальное уравнение из-

гибных колебаний пластинки будет иметь вид
	О ДДш + рЛ ^7 = <?*;				(10)
здесь — приведенная	нагрузка,		определяемая	по формуле
_ Л , 1 \ д (			1 и дт . . .	д и ) \	,
д* - я + 7 Г ж Ы л Ми 77Г^ + Л^ )					+
. 1	л ,	л	//\| дни	)]
дх2 \		12 б.	777	)]	( П )
					( П )

Дифференциальные уравнения колебаний пластинок

373

или по формуле

<?« = <? +

лг„

“

^ д

-—

) +

НХН\

дНх дш!

Н\

дхг

дх,) +

дх.

+ И 1г Г«.

( 1

дт \

Иг

гг2 *л»-

I М"

■ дх2 |к

Н ' Л*-

н 2

ж , I +

7 л "

ч - л и

д (

д& \

дНа

( 12)

дх2 \Н 2

дх2)

я^Я2

если усилия УУар удовлетворяют однородным

уравнениям

равновесия

а №гЯо)

^ № а/Л)

дН1

дН2

дх2

+ П г * 4 ё -Ы м - & - 0;

С?*;

а № ак 8)

д (М,,/УД

ая,

а я 2

^А'|

дХо

а^,

Граничные условия (6), (8) сохраняют свой вид. В граничные усло-

ия (7) вместо

следует подставить выражение

« 0

л;

дгю

а/

(13)

9 1 - 0 - ^ п н ^ -д ^ -М н -Щ -Ж г -

Учет внешнего и внутреннего трения при колебаниях пластинки. Простейшая модель, учитывающая влияние внешнего трения, основана на гипотезе, что интенсивность силы внешнего трения <7* пропорцио

нальна скорости прогиба в данной точке ^<7* = —2к Соответству

ющее дифференциальное уравнение колебаний пластинки постоянной толщины имеет вид

ОДДш + 2/Ь ^ -|-рй ^ = Ч- (И)

Из большого количества моделей, отражающих влияние внутреннего трения, простейшей и, по-видимому, наиболее распространенной яв ляется модель, основанная на гипотезе Кельвина, что силы внутреннего трения имеют вязкий характер.

Дифференциальное уравнение колебаний пластинки из такого ма

териала имеет вид
0ДД ( ю + к ^ + р / 1 ^ ^ .	(15)
Коэффициент вязкости и войдет также в выражения для	моментов
и перерезывающих сил.

Нелинейные колебания пластинок. Нелинейные колебания могут возникнуть в силу целого ряда различных причин (нелинейная упру гость, нелинейное трение и т. п.). Здесь будет рассмотрена лишь нелинейность, связанная с большими прогибами, когда различием

374	Колебания пластинок

деформированной и недеформированной форм пластинки нельзя пре небречь при составлений дифференциальных уравнений движения, которые будут иметь вид

й ДДщ + РЛ ^	Ру,	(16)
ДДР = —	ЕЛД (м>.ш);

здесь Л — оператор Лапласа; оператор А выражается в ортогональных криволинейных координатах следующей формулой:

Связь усилий с функцией напряжений Р определяется формулами

		(	1	д р \	\	__1___ дН2			дР
Н2	дх2	(	1	д р \	\	1	'	дн*	эр
Н2	дх2	\	Яо	дх2)	+	НгН\	'	дхг	' дх1*
						НгН\	’	дх1	' д*1 ’
д . ___^	_а_	/	I	дР\		I		дНх	дР
гг Я ,' дхх \			Н г' Эх1)		+		•	дхг • дхг 5

(18)

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных 0 плане 375

КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК, ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ

Дифференциальное уравнение колебаний пластины в декартовой системе координат. Пусть срединная плоскость недеформированной прямоугольной пластинки отнесена к декартовой системе координат #1, х2 (рис. 2). Тогда коэффициенты Ламе будут

Пластинки, опертые по контуру. Собственные формы колебаний опер той прямоугольной пластинки со сторонами ах, а2 удобно искать в виде

.	ппи	.	пт2	(шь т2 = 1, 2, 3, .. .). (20)
IV = Ш0 5Ш	----± Х 1	ЗШ	----- Х 2	(шь т2 = 1, 2, 3, .. .). (20)

Выражение (20) удовлетворяет кинематическим и статическим гра ничным условиям, которые для края х1 = 0, ах имеют вид

т = Млх = 0,

д2ш ЙУ= —7Г = 0.

дх\I

Подставляя выражение (20) в уравнение (19) при д = 0, нетрудно убедиться, что формула для собственных частот опертой пластинки

имеет вид

т:

(21)

Пластинки, опертые по двум противоположным сторонам. Пусть две противоположные стороны (х2 = 0 и х2 = а2) прямоугольной пластинки оперты, а на двух других заданы однородные краевые условия типа

= 0,

где I — оператор, в который входят только четные (или нечетные) про изводные по х2. Тогда собственные формы колебаний пластинки по стоянной толщины можно представить в виде

щ = (Сх $Ь ах1+ С2 ей ахг + С3 з т §хх 4- С4 соз р^) з т

х2\ (22)

°2

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры