Применение асимптотического метода к расчету пластинок 411
Условия склеивания (48) с учетом формул (49) имеют вид
(*? + 2кЬ 2 |
(50) |
|
|
|
|
(*] Ч- 2А[) - |
|
|
Семейства кривых (50) для случая |
= а2 представлены на рис. 10. |
|
Жирные линии соответствуют пластинке, защемленной по контуру,
тонкие линии — опертой пластинке. |
Арктангенсы |
в уравнениях (50) |
||||||
понимают в смысле глав |
|
|
||||||
ных значений. При этом |
|
|
||||||
волновые числа /гх и к*у |
|
|
||||||
соответствующие |
|
значе |
|
|
||||
ниям ш1 = |
т 2= |
I* |
будут |
|
|
|||
несколько |
больше, чем |
|
|
|||||
— |
и — |
|
Естественно |
|
|
|||
а\ |
ач |
|
уравнения |
|
|
|||
ожидать, |
что |
|
|
|||||
(50) |
при |
т1= т 2= 1 |
дают |
|
|
|||
приближенное |
|
значение |
|
|
||||
основной частоты. Это под |
|
|
||||||
тверждается |
анализом |
|
|
|||||
форм колебаний. Следова |
|
|
||||||
тельно, корни |
уравнений |
|
|
|||||
(50) |
при |
ш1 ^ 0 , |
м 2г^0 |
|
|
|||
являются лишними и дол |
|
|
||||||
жны быть отброшены. |
|
|
||||||
Невязка |
|
склеивания |
|
Те |
||||
характеризуется |
|
значе- |
|
|||||
ниями |
корректирующих |
Рнс' |
0 |
|||||
решений |
в |
центре |
пла- |
|||||
стинки. Кривые, |
соответ |
|
на рис. 10нанесены |
|||||
ствующие невязкам |
(е=5% , 1%, 0,1% и 0,01%), |
|||||||
штриховыми линиями. Из чертежа видно, что невязка склеивания при определении основной формы колебаний не превышает 5% и что лишь первые три формы колебаний склеиваются с невязкой порядка 1%.
Для некоторых частных случаев система уравнений (50) допускает решение в конечном виде. Например, при колебаниях стержня длиной а или при цилиндрическом изгибе пластинки (к2 ->■ 0) первое уравнение
дает |
|
|
Подставляя в формулу |
(44), |
получим |
1 |
\ 3 , |
1 |
412 Колебания пластинок
Эта формула, дающая даже для основной частоты погрешность менее 1%, была получена еще Рэлеем из анализа точного решения задачи о ко
лебаниях |
защемленного |
стержня. |
|
|
|
|
а), |
ко |
|||
Для |
тех форм колебаний квадратной пластины (а± = а ? = |
||||||||||
торым |
соответствует т± = /л2 = т, точное |
решение |
уравнений |
(50) |
|||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
отсюда |
по |
формуле |
(44) |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
со = |
|
|
т |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(т |
= 1, 2, |
. . .). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При значениях /лх Ф тг решения уравнений (50) могут быть найдены |
|||||||||||
по методу последовательных приближений [5, 6 ]. Численные резуль |
|||||||||||
таты представлены в табл. |
17. Величина невязки склеивания в табл. 17 |
||||||||||
|
17. Коэффициент |
частоты о для квадратной пластинки, |
|
|
|||||||
|
защемленной |
по контуру. Сравнение с результатами Игутм |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
Я*(й |
{ й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>РЛ/ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к{й 1 |
|
к2ал |
|
са |
Расхо |
Невязка |
||
|
|
|
|
|
Асимп |
По дан |
|||||
|
|
|
Я |
|
я |
|
тотиче |
ждение |
склеива |
||
|
|
|
|
|
ский |
ным |
в % |
ния в % |
|||
|
|
|
|
|
|
|
метод |
Игути |
|
|
|
1 |
|
1 |
4/3 |
|
4/3 |
|
3,556 |
3,646 |
2,53 |
2,66 |
|
1 |
|
2 |
1,2027 |
|
2,4372 |
|
7,386 |
7,437 |
0,69 |
0,93 |
|
2 |
|
2 |
7/3 |
|
7/3 |
|
10,889 |
10,965 |
0,70 |
0,18 |
|
1 |
|
3 |
1,1420 |
|
3,4688 |
|
13,337 |
13,393 |
0,42 |
0,24 |
|
2 |
|
3 |
2,2556 |
|
3,4012 |
|
16,656 |
16,717 |
0,37 |
0,07 |
|
3 |
|
3 |
10/3 |
|
10/3 |
|
22,222 |
— |
— |
0,01 |
|
1 |
|
4 |
1,1084 |
|
4,4816 |
|
21,313 |
— |
— |
0,05 |
|
2 |
|
4 |
2,2038 |
|
4,4366 |
|
24,540 |
24,631 |
0,36 |
0,02 |
|
3 |
|
4 |
3,2784 |
|
4,3832 |
|
29,960 |
— |
— |
0,00 |
|
4 |
|
4 |
13/3 |
|
13/3 |
|
37,556 |
|
|
0,00 |
|
вычислена с учетом формулы (47). При сопоставлении результатов |
не |
||||||||||
обходимо иметь в виду, что значения, полученные Игути, завышены, |
|||||||||||
а погрешность примененного им метода возрастает с ростом волновых чисел. Заметим, что ряд высших частот был квалифицирован Игути ошибочно (они были приписаны не тем формам колебаний, которым они в действительности соответствуют); в табл. 17 это исправлено. Резуль
таты вычисления |
[5] |
первых |
16 частот и форм колебаний для прямо |
||
угольной пластинки |
при |
а2 = |
2ах и в4 = 4ах приведены |
в табл. 18. |
|
Коэффициенты частоты а для других отношений г = |
могут быть |
||||
взяты по графику |
на |
рис. |
11. |
Частоту свободных колебаний <о опре |
|
деляют затем по |
формуле |
|
|
||
Применение асимптотического метода к расчету пластинок 413
18.Коэффициент частоты а для первых 16 форм колебаний
защемленной пластинки
1
- ^ = 4 |
- ^ - = 2 |
«1 |
« 1 |
т 1 |
ш , |
|
|
|
|
|
|
|
|
М | |
&аД2 |
а |
М е |
/г«а г |
а |
|
|
я |
я |
Я |
я |
||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
1,51 |
1,08 |
2,350 |
1,45 |
1,17 |
2,441 |
1 |
2 |
1,46 |
2.29 |
2,426 |
1,36 |
2,3 0 |
3,181 |
1 |
3 |
1,42 |
з;гз |
2,667 |
1,28 |
3,38 |
4 ,4 9 4 |
4 |
1,38 |
4,3 0 |
3,041 |
1,22 |
4 ,42 |
6 ,3 8 3 |
|
2 |
1 |
2,4 9 |
1,05 |
6,299 |
2,4 9 |
1,10 |
6 ,4 7 7 |
2 |
2 |
2,4 9 |
2,09 |
6,454 |
2,4 4 |
2,19 |
7,184 |
2 |
3 |
2 ,47 |
3 ,13 |
6,711 |
2,40 |
3,26 |
8,4 0 0 |
2 |
4 |
2,4 4 |
4,2 9 |
7 ,089 |
2,33 |
4 ,3 5 |
10,150 |
3 |
1 |
3,5 7 |
1,03 |
12,320 |
3,5 0 |
1,06 |
12,470 |
3 |
2 |
3,60 |
2 ,07 |
12,460 |
3,4 7 |
2,13 |
13,185 |
3 |
3 |
3,49 |
3,1 0 |
12,740 |
3,41 |
3,19 |
14,400 |
3 |
4 |
3 ,47 |
4 ,1 3 |
13,152 |
3,42 |
4,24 |
15,854 |
4 |
1 |
4 ,5 0 |
1,03 |
2 0 ,2 9 8 |
4,4 9 |
1,05 |
2 0 ,4 6 9 |
4 |
2 |
4 ,4 9 |
2,05 |
2 0 ,467 |
4,4 9 |
2,12 |
21 ,1 9 4 |
4 |
3 |
4,4 9 |
3,08 |
20,7 42 |
4,4 7 |
3,14 |
2 3 ,4 0 7 |
4 |
4 |
4 ,49 |
4,11 |
2 1 ,1 5 9 |
4,46 |
4 ,20 |
2 4 ,1 1 5 |
414 Колебания пластинок,
Другие случаи опорного закрепления. Пусть пластинка по краям
х± = о и х2 = 0 защемлена, а по краям х1 = ах и х2 = |
аа шарнирно |
||||||
оперта (рис. 12, в). Тогда аналогично |
предыдущему |
|
|||||
|
М г = |
агс*д-------—------ + |
тхл\ |
|
|||
|
|
(*? + 2 ^ ) 2 |
|
|
|||
|
Л2а2 = |
агс!& |
кг |
|
_1 ■+ |
тгп. |
|
|
|
а2\ |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(4 + 2 /4 ) |
|
|
|
||
Основной |
частоте соответствует |
= |
т 3 = |
1 (если |
берут главное |
||
значение арктангенса). При аг = |
аг = |
а, |
т1 = |
тг решение будет |
|||
|
|
ка= (^т + |
|
л. |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
- |
_ 2»’ ( " + т ) |
|
|
(т = 1, 2, . . . ) . |
|||
|
|
- |
ш |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Разница между частотой, найденной по этой формуле, и частотой, определенной вариационным методом Ритца, при т — I состав ляет 0,86%.
'М///////У///.
|
|
( \/о « |
% |
) |
> |
* ( |
||
у //////////) |
|
|
Рис. 12
Значения основных частот колебаний для четырех случаев опорного закрепления (рис. 12), вычисленных асимптотическим методом и мето дом Ритца, приведены в табл. 19. Параметры первых шести частот
19. Основные частоты колебаний квадратной пластинки
|
|
1 |
|
|
Вид закрепления |
пЧа |
|
Расхождение |
|
Асимптотический |
Метод Ритца |
|||
показан иа рис. 12 |
в % |
|||
|
метод |
|
|
|
а |
31,37 |
31,96 |
1,88 |
|
С |
28,92 |
28,99 |
0,24 |
|
в |
26,87 |
27,10 |
0,86 |
|
г |
23,64 |
23,70 |
0.25 |
Применение асимптотического метода к расчету пластинок 415
и форм колебаний даны в табл. 20. В случаях, показанных на рис. 12, б
нг, точное решение легко строится в классе элементарных функций, но оно весьма громоздко по сравнению с асимптотическим решением.
Частоты и формы свободных колебаний прямоугольной пластинки, свободной по контуру, были изучены при помощи асимптотического метода Е, П, Кудрявцевым [14]. Он же рассмотрел колебания пла стинки, окаймленной упругими ребрами. Пластинка, упруго закреплен ная по контуру, была рассмотрена в статье [5]. Для случая, когда коэф-
20. Коэффициент частоты для четырех случаев опиракня кпадратноЛ пластинки
1
|
|
Рис. 12, а |
Рис. 12, 6 |
Рис. 12, в |
Рис. 12, г |
||||||||
т , т г |
Л |
Л |
|
я |
Л |
(1 |
Л |
л |
|
Л |
я |
|
|
|
|
А,а |
к г а |
|
/г,я |
к2а |
к ха |
к . а |
|
к ха |
к . а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
0,869 |
0,734 |
3,178 |
0,720 |
1,000 |
2,929 |
0,857 |
0,857 |
2,722 |
0,847 |
1,000 |
2,395 |
г |
2 |
0,924 |
0,408 |
7,174 |
0,805 |
0,500 |
5,542 |
0,907 |
0,451 |
6,133 |
0,900 |
0,500 |
5,234 |
2 |
2 |
0,463 |
0,426 |
10,166 |
0,423 |
0,500 |
9,580 |
0,462 |
0,462 |
9,389 |
0,460 |
0,500 |
8,726 |
1 |
3 |
0,935 |
0,288 |
13,191 |
0,859 |
0,333 |
10,355 |
0,927 |
0,309 |
11,600 |
0,932 |
0,333 |
10,151 |
2 |
3 |
0,471 |
0,293 |
16,114 |
0,439 |
0,333 |
14,200 |
0,470 |
0,313 |
14,778 |
0,469 |
0,333 |
13.549 |
3 |
3 |
0,316 |
0.299 |
21,160 |
0,198 |
0,333 |
20,230 |
0,316 |
0,316 |
20.055 |
0,315 |
0,333 |
19.050 |