Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 401
можно убедиться, что уравнение (38) совпадает с дифференциальным уравнением (39), если положить
т\ = т 2 + г \ \
в! ,= ® !т л 4 [Л* + 2"'2 (г% - ?0] ( ' = - ^ ) •
Следовательно, если известна безразмерная частота со** свободных колебаний незагруженной прямоугольной пластинки с размерами а1+, причем соответствующая форма колебаний имеет т полуволн в направлении оси х х, то частота колебаний загруженной пластинки со*
может |
быть |
определена по |
|
|
и; |
|||
формуле |
|
|
|
|
|
Ы/дар |
||
|
|
|
|
\пг |
X |
---------п |
|
|
|
|
|
|
\\г=Г^ч |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
X (?1 — Л , ) |
— Л з ] |
П4, |
г =1 |
1 |
|
|||
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
Зависимость |
параметра |
|
|
|
||||
частоты |
|
|
|
|
-0,5 |
0 |
|
|
|
_ |
Д?0 |
/ |
р/г \ |
|
|
||
|
|
|
|
Ч к р |
||||
|
1 |
я3 |
\ |
I) У |
|
|
Рис. |
8 |
свободных |
колебаний |
прямоугольной пластинки, |
защемленной по |
|||||
краю хх = |
0 и опертой по всем другим сторонам, приведена на рис. 8 |
|||||||
(<71 = |
Яг ~ |
Я* т = п= 1). При произвольных граничных условиях при |
||||||
менение метода Рэлея-Рнтца |
в первом приближении (формы колебаний |
|||||||
ищутся в виде произведений |
балочных функций) приводит к формуле |
|||||||
“ = "г (т ь) 2 |
|
+ ^ Г + - ф [ |
|
сш с,„}+ |
||||
+2 + ^ ) ) 2 (40)
Входящие в формулу (40) постоянные А, В, С для различных гра ничных условий см. в табл. 6.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения. Выше были ис пользованы уравнения и граничные условия классической теории изгиба плит, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява. Предпосылки этой теории оказываются несправедливыми для высокочастотных коле баний, когда длина полуволн соответствующих форм колебаний сопо ставима с толщиной пластины. Дифференциальные уравнения изгибных
402 Колебания пластинок
колебаний пластинки, полученные на основе отказа от гипотезы Кирх- гофа-Лява различными авторами, могут быть записан^ в следующей общей форме в декартовой системе координат х хх 2г [15]:
1 — V2 |
д2ф |
|
ш> + — |
Ё ~ |
р ж > |
2(1 + V) |
„ |
а20 _ |
Е |
р |
дГ- > |
здесь ш — прогиб; ф и 0 — функции, определяемые формулами |
||
Н_ |
|
|
2 |
|
|
2
1х_
2
2
Выражения для компонентов смещения иг и и2 в направлении х1 и х2 соответственно имеют вид
(41)
Формулы (41) можно рассматривать как разложение компонентов смещения иг, и2 по ортогональным функциям по координате г. Удер жано два члена — первый, учитывающий осредненный поворот, и вто рой, учитывающий искривление нормального элемента.
Напряжения в колеблющейся пластинке определяют по формулам
Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 403
т* в -1г { А,» * + м *>К |
" С(1 |
||
|
рОН |
( |
дш \ |
Т 1 3 “ — |
(4) |
|
|
|
------- '< *> ('*— |
я г ) : |
|
|
2Р I |
|
|
Изгибающие и крутящий моменты, а также перерезывающие силы находят по формумам
М ,
СГУА2 |
Г |
и |
п\ и |
1 |
12 Р (I — V2) |
0 |
Р)РЛ |
] I |
|
•ж |
1 — V / |
д1х |
д12 |
\ |
РЕА
С*2 — I
2(\ + ч)
Функции Р (г), / (г) и /х (г) связаны между собой формулами
|
|
2 |
|
Г(г) = |
|/ ( г ) 4 г ; |
|
|
/1 (2) = |
" |
( 4) |
. |
|
12 \ Р г й г |
|
|
Иногда полагают /1 (г) = |
0. |
|
|
Параметр а равен либо нулю (это соответствует пренебрежению поперечным нормальным напряжением аз3), либо единице. Наиболее
употребительным для Р является значение — , допускающее
Нелинейность, начальные усилил, инерция вращения, сдвиг 405
При пренебрежении инерцией вращения нормальны эта же частота определяется формулой
рсо2 = О
V)
Из решения трехмерной задачи теории упругости вытекает, что при фиксированных значениях т1} т2 существует бесчисленное мно жество частот. Результату теории, основанной на гипотезе КирхгофаЛява, соответствует первый отличный от нуля корень уравнения частот
4гЛ |
(*? + к \ ) <Ь ^ |
= (й* + |
* ! + 4 |
У *Ь |
||
( л |
& х г2 |
р0>а . |
2 |
1,2 |
| у2 |
Рю2 \ |
^ 2 - * 1 + * 2 |
| р . Г3 - к \ + к2 ~ 1 _|_ 2ц ) • |
|||||
Результаты |
вычислений |
параметра |
частоты |
|
||
|
К= лсо |
|
|
2 |
|
|
по классической теории, уточненным теориям и трехмерной теории
упругости |
для |
квадратной (ах — а2 = |
а = |
40Л, V = 0,3) |
пластинки |
|||||
даны в табл. 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ |
|
|
|
|
|
15. Частоты |
аа) |
Г2р (1 — V * ) "1 2 |
опертой квадратной пластины |
|||||||
V . — ---- |
|
_---- - |
||||||||
(а, = |
= а = |
Я |
Г |
Б |
^ |
|
числах |
ти т2 полуволн |
||
40Л; V |
= |
0,3) при различных |
||||||||
Метод |
|
|
'-'СЧ |
'-'"со |
сТсч |
сТсо |
СО СО |
|
0 * 0 |
|
Чи |
|
И! |
Тп |
|||||||
вычисления |
|
IIII |
11II |
II 1 |
II п |
IIII |
||||
|
|
ЕЕ |
|
ЕЕ |
ЕЕ |
е ё |
ЕЁ |
ЕЕ |
ЕЕ |
ЕЕ |
Гипотеза |
0,0642 |
|
0,160 |
0,321 |
0,257 |
0,417 |
0,577 |
3,14 |
6,40 |
|
Кнрхгофа-Лява |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уточненные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения: |
|
|
0,159 |
0,316 |
0,254 |
0,409 |
0,564 |
2,80 |
5,21 |
|
а = 0. *=-§■ |
0,0639 |
|
||||||||
а = 0. ц= 4 |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2,84 |
5,36 |
|
а = 1. Р - - §- |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2 ,8 6 |
5,38 |
|
Трехмерные |
0,0640 |
|
0,159 |
0,317 |
0,254 |
0,411 |
0,566 |
2 ,8 6 |
5,39 |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|