Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Упругие стержни на упругих опорах или сплошном основании 41

Р и с . 40

условия на каждом конце стержня). Использование этих условий приводит к однородной относительно С( системе линейных алгебраиче­ ских уравнений. Уравнение для критической силы получают из усло­ вия, что определитель, составленный из коэффициентов этой системы, не равен нулю.

Число полуволн, на которые подразделяется стержень при потере устойчивости, должно быть найдено из условия минимума сжимающей

силы.

Значения коэффициентов р для определения критической сжима­ ющей нагрузки находят по графикам на рис. 39—40 в соответствии

суказаниями табл. 20.

20.Выбор коэффициента |! для упругих стержней на сплошном упругом

основании

П р и м е ч а н и е . Критическая нагрузка для схем Э н 4 будет

УПРУГИЕ ПЛОСКИЕ РАМЫ *

Общие сведения

Задачи об эйлеровой форме потери устойчивости рам ставят в тех случаях, когда в невозмущенном состоянии стержни рамы испытывают только растяжение-сжатие; сказанное соответствует нагружению рам только узловой нагрузкой, когда узлы рамы не смещаются, а дефор­ мации растяжения-сжатия стержней пренебрежимо малы.

Устойчивость рам с высокой степенью статической неопределимости удобнее исследовать методом перемещений. В особенности это относится к рамам с кинематически неизменяемой шарнирной схемой с неподвиж­ ными узлами (при такой схеме замена жестких узлов шарнирами при­ водит к неизменяемой форме). Согласно главной идее этого метода основ­ ная система образуется путем введения дополнительных (фиктивных) связей, препятствующих поворотам и линейным смещениям всех узлов рамы (если соответствующая подвижность не исключена связями, имеющимися в данной системе). За «лишние» неизвестные принимают угловые и линейные перемещения узлов 2[ при переходе к возмущенной форме равновесия рамы. Эти перемещения удовлетворяют каноническим уравнениям, которые выражают условие отсутствия суммарных реакций в дополнительных связях:

здесь гм — единичная реакция, т. е. реакция, возникающая в /-и до­ полнительной связи при смещении 2* = 1 по к-му направлению (при неподвижности всех остальных дополнительных связей).

Система уравнений (37) имеет тривиальное решение 2 г = 2г = *• • = = 2п = 0, которое выражает возможность невозмущенной формы рав­ новесия при любых значениях внешних сил. Для определения крити­ ческого значения нагрузки следует предположить, что существует нетривиальное решение, соответствующее возмущенной форме равнове­ сия, при которой не все перемещения 2,1 равны нулю. Это возможно при условии, если определитель системы (37) обращается в нуль

Соотношение (38) и является уравнением для определения крити­ ческих значений нагрузки.

• Написано совместно с Н. Г. Калинин

Основные зависимости

Выражения для единичных реакций г,■* в зависимости от способа закрепления концов элемента рамы и вида смещения приведены

втабл. 21.

Врасчетных формулах, приведенных в табл. 21, функции

причем

(40)

где I — длина стержня; Е^ — его жесткость при изгибе; N — продоль­ ная сила.

Значения этих функций даны в табл. 22.

Пример 7. Определить критическую нагрузку для рамы, показанной на рис. 41. Длины и жесткости всех стержней одинаковы.

С = Зф, (0) Е^