Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

52 Устойчивость стержней

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ Витые (естественно закрученные) стержни при сжатии

Пусть ху у, г — неподвижная прямоугольная система координат, ось которой г совмещена с осью стержня; г\ — главные центральные оси поперечного сечения; витыми (естественно закрученными) называют такие стержни, для которых угол ф между осями 5 и х (или, что то же самое, угол между осями г\ и у) является функцией координаты г (рис. 48, а). Практическими примерами стержней этого типа могут слу­

жить спиральное сверло (рис. 48, б), лопасти воздушных винтов, ло­ патки турбин, буровые штанги и т. п.

Характеристикой закрученности стержня служит относительная крутка

равны между собой, то естественная закрученность не влияет на крити ческое значение сжимающей силы

Естественная закрученность оказывает влияние на критическое значение сжимающей силы только в случаях неравенства главных жесткостей Вх и Ву, а именно, повышает его. Критическую силу опре­ деляют по формуле

(предполагаем, что Ви <^Вх), причем поправочный коэффицнент и > 1 зависит от параметров стержня.

Типичная зависимость коэффициента к от полного угла закрученности 4я показана на рис. 49 (график построен для стержня, у которого отношение главных жесткостей равно 0,2). При углах V, возрастающих от нуля до значения 2л, коэффициент к постепенно увеличивается, но при больших значениях он остается практически постоянным.

Для значительно закрученных стержней ('К 2> 2я) поправочный коэффициент у. может быть определен по приближенной формуле

2ВХ

В х + В и ’

Стержни под действием следящих сжимающих сил

Следящими называют силы, направление которых меняется в зави­ симости от угловых перемещений сечений, в которых приложены силы. В частности, следящей является нагрузка на кольцо в схеме 2, табл. 25.

Действие продольных сжимающих сил, направление которых совпа­ дает с касательной на конце стержня, показано на рис. 50. Если в этом

тудами. Для исследования этого типа потери устойчивости метод Эйлера неприменим, и необходимо пользоваться

динамическим методом, т. е. составлять уравнения возмущенного дви­ жения и исследовать условия возникновения колебаний с возрастаю­ щими амплитудами.

Вследствие существенно динамического характера потери устой­ чивости критическая сила оказывается зависящей от распределения масс по длине стержня.

Наиболее простым оказывается решение в случае, когда масса со­ средоточена в концевом сечении стержня. Обозначив через / прогиб конца стержня, имеем, что поперечная сила инерции концевого груза будет

где V= о (г, () — прогиб в текущем сечении в произвольный момент времени ф/ = ф/ {I) — угол поворота концевого сечения. Отсюда следует дифференциальное уравнение

хГ + а2и = а2[ — ( а 2ф/ — (/ — г),

в котором обозначено

Проинтегрировав это уравнение по координате г и подчинив решение граничным условиям на защемленном конце, получим

Ркр = 20,2

которое в данном случае примерно в 8 раз больше критического зна­ чения силы, если она сохраняет неизменное направление, параллель­ ное первоначальному.

Результаты решения других, более сложных случаев, приведены в табл. 26.