Курсовая работа на тему: «Производная функции и ее применение в экономике»
Содержание
Введение
1. Производная функции
1.1 Исторические сведения
1.2 Понятие производной
1.3 Геометрический смысл производной
2. Дифференциальное исчисление в экономике
2.1 Экономическое приложение производной
2.2 Применение производной в экономической теории
2.3 Использование производной для решения задач по экономической теории
2.4 Предельный анализ в экономике. Эластичность функций
2.5 Ценовая эластичность спроса
2.6 Ценовая эластичность предложения
2.7 Примеры задач
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Экономика - неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но даже не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.
Основная проблема, рассмотренная в моей работе, - использование производной в экономических целях и её роль.
Цель работы: анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.
Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес у меня вызвали такие разделы, как:
· Предельный анализ в экономике. Это совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.
· Исследование производственных функций в экономике (задачи). А именно различные производственные задачи.
Производная - одно из фундаментальных понятий математики.
Мы часто упоминаем понятие производной в физике, геометрии и даже в экономике. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.
Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной.
1. Производная функции
1.1 Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1.2 Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции ?y = f(x+?x) -f(x);
2) составляем отношение
3) считая x постоянным, а ?x 0, находим, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной y'=f '(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.
Таким образом
или .
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при ?x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.
1.3 Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x
0
Рис. 1
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у; tgв=?y/?x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = в (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgв = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tgв =?y/?x, то получим
или tg =f '(x0), так как - угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
2. Дифференциальное исчисление в экономике
2.1 Экономическое приложение производной
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.
Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.
В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции
Где MC - предельные издержки (marginal costs);
TC - общие издержки (total costs);
Q - количество.
Другой пример: категория предельной выручки (MR-- marginal revenue) -- это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную
от выручки:
При этом R=PQ, где R - выручка (revenue); P - цена (price).
Таким образом, MR= P.
Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.
2.2 Применение производной в экономической теории
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".
То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo),
где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) -- C(Q),
где R - прибыль, а C - общие издержки производства.
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П'(Q) = 0. Но П'(Q)=R'(Q) - C'(Q), поэтому R'(Qo) = C'(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).
2.3 Использование производной для решения задач по экономической теории
Задача 1
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2
Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000. Исследовать потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
2.4 Предельный анализ в экономике. Эластичность функций
Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора.
Анализ состояния и изменения экономического объекта или процесса - это проблема, стоящая перед специалистами в этой области.
Цель этого исследования - проанализировать и рассмотреть примеры применения предельных характеристик экономических процессов с помощью производной.
Рассмотрим понятия, применяемые в данном исследовании.
Эластичность функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y' = . Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел
.
Его обозначают
Ex (y) = x / y = .
Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1 %. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.