Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями . Тогда сумма а + b представляется дробью
а сумма b + а - дробью Так как т, р, п - натуральные числа, то т + р = р + т и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.
Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно,
что длина отрезка x выражается дробью при единице длины e, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы e1, и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка x, если измерить ее при помощи единицы длины e1?
Так как следует, что q·e = р·e1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе - на m. Тогда (nq) x = (mq) e и (mq) e = (тр) e1, откуда (nq) x = (mp) e1.
Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины e выражается дробью , а значит,, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.
Определение. Если положительное число а представлено дробью а положительное рациональное число b - дробью , то их произведением называется число ab, которое представляется дробью [48].
Таким образом, по определению,
Можно доказать, что при замене дробей , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.
Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с [48].
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а > b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и тран-зитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
2. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т < р.
3. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq < пр.
4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.
Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,
представленных дробями .
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е., это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда a = bс.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями :
.
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
1.4 Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел
Покажем, что множество рациональных чисел является расширением множества натуральных чисел.
Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.
Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N с Q+.
Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно т·п раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.
Следовательно, N с Q+.
Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: и т.д.
Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 2.
Рис. 2
Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.
Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.
Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как
Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.
Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.
Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.
1. Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления.
Действительно, возьмем два натуральных числа т и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:
Обратно, если дана дробь то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и n:
2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.
Пусть неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число т не кратно n, то разделим т на n с остатком: т = nq + r, где r < n.
Подставим nq + r вместо т в запись и применим правило (1) cложения положительных рациональных чисел:
Так как r < п то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например,
Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо пишут и называют такую запись смешанной дробью.
Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:
В практической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.
Определение. Десятичной называется дробь вида , где т и п - натуральные числа [48].
Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь записывают в виде 3,67, а дробь - в виде 0,007. Выясним, как образуется такая запись.
Пусть дана дробь , где т, п N. Представим ее числитель в следующем виде:
Тогда, по правилам действий над степенями при п < k, получим:
Сумма является записью целого неотрицательного числа (обозначим его буквой А), а сумма представляет дробную часть числа, ее принято записывать без знаменателя в виде Таким образом, дробь можно представить в следующем виде: , т.е. при записи дроби последние п цифр десятичной записи числа т отделяют запятой. Если числитель содержит менее чем п десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилась n + 1 цифра, после чего отделяют запятой п знаков, начиная с конца. Например,
Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические действия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот же знаменатель.
В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.
Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим образом: если у одной дроби после запятой стоит n цифр, а у другой р цифр, причем n < р, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа р - n нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.
Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившиеся натуральные числа.
Например, 4,62517 > 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.
Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.
Например,
Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствующим действиям над натуральными числами.