Рассуждения:
Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.
Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.
Доля - это одна из нескольких равных частей величины.
Например:
1) 6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?
Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 · 2 = 12 (листов).
2) Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?
Рассуждение:
Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 · 4 = 20 (мин).
3) Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?
Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени.
Сутки - это 24 часа.
Треть суток 24: 3 = 8 (ч). Половина суток 24: 2 = 12 (ч).
Час - это 60 мин. Четверть часа 60: 4 = 15 (мин).
Год - это 12 месяцев. Четверть года 12: 4 = 3 (мес).
Три четверти года 3 · 3 = 9 (мес).
4) Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?
Рассуждение:
Третьих частей в отрезке может быть только три.
48 мм: 3 = 16 мм - длина одной третьей части.
5) Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.
Рассуждение:
Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм · 5 = 85 мм.
В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т.е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т.п., по специальным правилам, как это делается в 5 - 6 классах средней школы).
Результаты действий с дробями учащиеся усваивают как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.
Рассуждения:
Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе две четвертых доли полоски.
Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.
Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.
Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше,
чем знаменатель, например: и т.п.
В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) представлены задания, в которых учащиеся должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т.п.
А.В. Белошистая считает, что для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы [17].
С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида - не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!
Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а - долей должны соответствовать количеству 64 человека при том, что изначально их было 32!
Таким образом, при ознакомлении учащихся начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще [17].
2.2 Формирование понятия доли и дроби в вариативных программах обучения математики
В соответствии с программой по математике, в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в 3-4 классах. Это значит, в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается в 3 классе (Программа Моро М.И.) ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби, научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.
Ознакомить детей с долями - значит сформировать у них конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически.
Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть.
Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; интерактивные тренажеры, презентации.
Л.Г. Петерсон предлагает организовать ознакомление учащихся с долями следующим образом.
У каждого из учащихся и у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников. Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2). Покажите их. Возьмите квадрат. Как получить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.
Учащиеся могут сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис. 4)
22
Рис. 4
Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата? (половина - «-, - «-) Сколько половин круга в целом круге (2)?
Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.
Учащиеся записывают на половине круга 1/2 и объясняют, что показывает в этой записи каждое число.
Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски и т.п.) надо данный отрезок (прямоугольник, полоску и т.п.) разделить на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.
Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей (рис. 5) Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена).
22
Рис. 5
Можно предлагать самим детям изобразить долю отрезка и записать эту долю.
В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и т.п.
Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.
Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2 и поставить знак «>», «<».
Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис. 6). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.
22
Рис. 6
Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе.
Во 2 классе рассматривается только простые задачи, а в третьем классе они включаются в составные.
Образование дробей, как и образование долей рассматривается с использованием наглядных пособий.
Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь - три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.
Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.
Для сравнения дробей Л.Г. Петерсон предлагает пользоваться иллюстрациями с равными прямоугольниками (рис. 7). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.
|
1 |
||||||||
|
1/2 |
1/2 |
|||||||
|
1/4 |
1/4 |
1/4 |
1/4 |
|||||
|
1/8 |
1/8 |
1/8 |
1/8 |
1/8 |
1/8 |
1/8 |
1/8 |
Рис. 7
Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?
Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.
Предлагаются вопросы на сравнение дробей:
1. Вставьте пропущенный знак» > «, «< «или «=«
3/8*3/4; 4/5*1; 4/8*1/2;
2. Подбираете такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:
5/10=*/2; 3/8>*/4; 1/2<*/4
Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или изображают дроби с помощью, например отрезков.
Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение дроби числа. Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий.
Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ на протяжении всего учебного года.
В программе Л.Г. Петерсон [42] в 4 классе 20 часов отводится на раздел «Общие понятия», где предполагается знакомство учащихся с долями, дробями, процентами.
С целью расширения математического кругозора учащихся при изучении темы «Доли» вводятся термины: дробь, числитель и знаменатель, рассматривается образование, чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы.
Для формирования представления о дроби, используются решения текстовых задач. Первой учащимся можно предложить задачу: «Два брата разделили между собой поровну 6 яблок. Сколько яблок досталось каждому брату?»
Ученики самостоятельно записывают решение задачи: (6:2=3) и дают ответ на ее вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая задача: «Два брата разделили между собой одно яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?»