Материал: Расчет статических неопределённых систем (рам и балок)

Таким образом, за счёт рационального выбора основной системы, система канонических уравнений значительно упростилась. Это позваляет сформулировать следующие правило: если система симметрична и для её расчёта выбрана симметричная основная система, то при действии симметричной нагрузки кососимметричные неизвестные обращаются в нуль.

Перестраиваем эпюры от Х1 и Х2 (рис.18, е) и строим суммарную эпюру (рис.18,ж).

Проверяем правильность полученного решения.

Если задача решена верно, то угол поворота на опоре В должен отсутствовать.

Выбераем новую основную систему для чего отбрасываем на опоре В три «лишних» связи: горизонтальную и вертикальную составляющие реакции и реактивный момент (рис.18, з). Заменяем действие одной из отброшенных связей (в нашем примере - момента) единичной нагрузкой (рис.18, и) и стороим эпюру изгибающих моментов от действия этой нагрузки (рис.18, к).

Определяем угол поворота на опоре В

следовательно задача решена верно.

Пример 4.

Дана статически неопределимая рама симетричной конструкции с кососимметричным нагружением (рис.19, а). Построить суммарную эпюру изгибающих моментов.

Эта рама, как и в предыдущем случае, три раза статически неопределима, т. е. Для решения задачи необходимо записать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. (См. Предыдущий пример).

Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях определяются по общему правилу. Эпюры изгибающих моментов от сил Х1 = 1; Х2=1; Х3=1 такие же, как в примере 3 (рис.18, г), а грузовая эпюра представлена на рис. 19, д.

При определение коэффициентов получается, что

Тогда система канонических уравнений примет вид:

Первые два уравнения имеют только нулевое решение:

Х1=0 и Х2=0; таким образом, остаётся одно уравнение с одним неизвестным:

Итак, если система симметрична и для её расчёт выбрана симмтричная основная симметричные неизвестные обращаются в нуль.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 19, е).

Пример 5.

Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с произвольными нагружением (рис. 20, а).

Построить эпюру изгибающих моментов, возникабщих в элементах рамы.

Эта рама трижды статически неопределима. Данная задача имеет два варианта решения. По первому варианту исходная задача может быть разбита на две более простых (рис. 20, б), решения которых будут анфлогичны приведённым в предыдущих примерах (3 и 4). Схема решения по второму варианту приведена на рис. 20,в,г.

В этом случае система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет ряд нулевых коэффициентов и значительно упрощается:

Решая систему уравнений получаем:

Проверка подтверждает правильность полученного решения.

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 20, д.

Статически неопределимые балки.

1. Метод сил.

На рис. 21,а изображена балка один раз статическм неопределимая. Для этой балки за «лишнее» неизвестное удобнее всего принять реакцию, которая возникает на опоре В при действии внешней нагрузки Р.

Тогда основная система (см. Раздел 2.2) принимает вид консольной балки (рис. 21, б), а эквивалентная - этой же балки нагруженной внешним усилием Р и неизвестной опорой Х1 (рис. 21, в). Система, представленная на рис. 21, в будет эквивалентна заданой, если сила Х1 будет подобрана так, что вертикальное перемещение на опоре В будет отсутствовать. Это условие может быть записано в виде канонического уравнения метода сил:

Как и в предыдущих примерах, коэффициенты канонического уравнения определяем по способу Верещагина, построив предварительно эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 21, г) и Х1=1 (рис. 21, д)

По одному из рассмотренных ранее (стр. 13) способов, строим суммарную эпюру изгибающих моментов (суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 21, е).

Проверка правельности решения.

Известно, что угол поворота сечения в заделке равен 0. Определим этот угол поворота в сечении А балки АВ изображённой на рис. 21. Для этого выберем новую основную систему и нагрузим её единичным усилием, действубщим по направлению отброшенной связи (рис. 22, а).

Эпюра изгибающих моментов от этого усилия представлена на рис. 22, б. Перемножим по правилу верещагина эпюры, представленные на рис. 21, е и 22, б. Использовав расслоение:

площади элементов расслоений эпюры. уС1; уС2; уС3 - ординаты взятые под центрами тяжести этих площадей.

Угол поворота в заделке равен 0 - задача решена верно.

Примера расчёта статически неопределимых балок.

Пример 1.

Дана один раз статически неопределимая балка (рис. 23, а). Необходимо раскрыть статическую неопределимость эпюру изгибающих моментов.

Считаем среднюю опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1.

Система, эквивалентная заданной, представленной на рис. 23,б. Составим каноническое уравнение метода сил, смысл которого сводится к следующему: вертикальное перемещение в точке В эквивалентной системы от совместного действия сил Р и Х должно быть равно нулю, т. к. В исходной схеме вертикальное перемещение на опоре В отсутствует.

Строим эпюры изгибающих моментов от сил Р (рис. 23, в) и силы = 1 (рис.23,г); определяем коэффициенты канонического уравнения.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов.

В силу симметрии

RA=RC=

I. участок:

0 < Z1 <

участок:

(т.к. балка симметрична, то два других участка не рассматриваются).

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 23, д.

Пример 2.

Дана один раз статически не определимая балка (рис. 24, а). Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов, если жёсткость балки EJx= Const.

Считаем правую опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1. Система, эквивалентная заданной, представлена на рис. 24, б.

Составим каноническое уравнение метода сил.

Строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и силы =1 (рис. 24,в); определяем коэффициенты канонического уравнения.

Строим суммарную эпюру поперечных сил и изгибающих моментов (используем схему Рис. 24, г.).

Строим эпюру поперечных сил (рис. 24, д)

участок:

0 < Z1 < 2l

участок:

0 < Z2 < l

Строим эпюру изгибающих моментов участок:

участок:

Определяем Mmax: Mzi=Mmax, если Qzi=0, т. к. Q =

Частный случай метода сил - уравнение трёх моментов.

Как уже говорилось ранее (стр. 6), при выборе основной системы для балки за «лишние» неизвестные можно принять не только реакции «лишних» опор, но и надопорные изгибающие моменты (рис. 10).

Рассмотрим многопролётную статически неопределимую балку рис. 25, имеющую К опор.

Для упращения анализа считаем жёсткость по всей длине балки постоянной EJx= Const.

Чтобы построить суммарную эпюру изгибающих моментов, необходимо раскрыть статическую неопределимость. В качестве «лишних» неизвестных принимаем надопорные моменты. Тогда основной системой будет ряд самрстаятельных статически определимых балок, нагруженных внешними нагрузками и неизвестными надопорными моментами.

Рассмотрим перемещение на опоре n. Им будет угол поворота надопорного сечения. Угол поворота сечения над опорой n балки длиной ln относительно сечения над опорой n балки длиной ln+1 должен отсутствовать, т. е. равен нулю.

В противном случае нарушается условие неразрывности, т. к. Конец одного пролёта является началом следующего пролёта.

Каноническое уравнение для опоры может быть записано в следующем виде:

Определим коэффициенты этого уравнения, для чего строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок и моментов М1, М2,……,Мк, равна 1.

Из анализа эти эпюру (рис. 25) следует, что все единичные коэффициенты от: n,1 до n,n-2 и от n,n+2 до n,k - равны нулю; грузовой коэффициент будет состоять только из двух слагаемых: 'n,p на участке ln и ''n,p на участке ln+1 - остальные обращаются в 0. (n,p='n,p+''n,p).

Таким образом, вид канонического уравнения значительно упрощается:

По общему правилу определяем коэффициенты полученного уравнения:

- реакции на опорах (n-1) и (n+1) от момента Мn=1

n - горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте,

bn+1 - горизонтальная поекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln+1 с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте.

Выполнив все подстановки получаем: