Материал: Расчет статических неопределённых систем (рам и балок)

Введение

Статически неопределимыми называются такие системы , для которых определение внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия.

Для простоты пояснений рассмотрим только те случаи, когда конструкция, и силы, действующие на неё, лежат в одной плоскости.

Существует три типа плоских статически неопределимых систем: стержневые системы c шарнирно связанными элементами; рамы и балки.

Системы первого типа в настоящем пособии не рассматриваются.

Рамой называется кинематически неизменяемая стержневая система, элементы которой жёстко связаны в узлах.

Иногда в конструкцию рамы шарниры, но их введение не нарушает общей кинематической неизменяемости системы.

В рамах статическая неопределимость возникает:

за счёт большого числа внешних связей (реакций опор) (рис. 1а) - внешняя статическая неопределимость;

вследствие особенностей конструкции (наличие замкнутых контуров) (рис. 1б) - внутренняя статическая неопределимость;

при наличии замкнутых контуров и «лишних» ( >3 ) внешних связей (рис. 1в).

Балкой называется брус, работающий преимущественно на изгиб, причем длина его несоизмеримо больше двух других размеров, характеризующих поперечное сечение. У балок статическая неопределимость является следствием постановки дополнительных опор, обеспечивающих большую жёсткость системы. Такие балки принято называть неразрезными (рис.2)

Для рам и балок применим общий порядок раскрытия статической неопределимости.

устанавливают степень статической неопределимости системы (число «лишних», с точки зрения статики, неизвестных).

получают основную и эквивалентную системы.

составляют канонические уравнения метода сил и решают.

проверяют правильность полученного решения .

расчёт по этой схеме носит название «метода сил», поскольку в качестве «лишних» неизвестных выбирают усилия, действующие по направлению отброшенных связей.

Степень статической неопределимости системы

Статическая неопределимость рам

Количество «лишних» связей в рамах определяется по формуле:

К - число замкнутых контуров, каждый из которых имеет три неизвестных внутренних усилия (М - изгибающий момент, Q - поперечную силу, N - продольную силу) (рис. 3) R - число реакций внешних связей, 3 - число линейно независимых уравнений равновесия для плоской системы сил, n - число шарниров, Si - число стержней, сходящихся в одном шарнире.

Рассмотрим статически неопределимую раму, представленную на рис.4. Для неё число замкнутых контуров равно 4 (I;II;III;IV), число внешних связей R=5 (три в за щемлении А и по одной в тягах В и С). Эта рама имеет один шарнир (n=1), соединяющий четыре стержня (S-1)=4-1=3, Л=3 4+(5-3) - 1 (4-1) =11

Таким образом, рама 11 раз статически неопределима.

Статическая неопределимость балок

Балка замкнутых контуров не имеет и для неё количество лишних неизвестных определяется по упрощённой формуле

S=2

Рассмотрим статически неопределимую балку (рис.5,а)

Число внешних связей для рассматриваемой балки (R) равно 5 (три в опоре А и по одной на опорах В и С). В пролёте ВС имеется шарнир D, снимающий одну связь.

Тогда Л=5-3-1=1

Балка один раз статически неопределима.

Расчётная схема для такой балки представлена на рис. 5,б.

Дадим некоторые пояснения.

Так как изгибающий момент в шарнире равен 0,то через точку D могут передаваться только вертикальные усилия.

Следовательно, балка АС может быть представлена в виде системе, состоящей из двух балок: балки АВ и балки DC, которая в точке D опирается на балку АВ.

опора D балки DС является не подвижной шаровой опорой статически определимой балки DС. Реакции VD, HD и VD могут быть найдены с помощью уравнений статики, причём HD = 0. Балка АВ, являясь один раз статически неопределимой, оказывается, в свою очередь, нагруженной внешними силами и реакцией VD, приложенной в точке D.

Основная система; эквивалентная система

Основной системой называется статически определимая система, полученная из заданной путём отбрасывания «лишних» связей.

Эквивалентной называется система, полученная, путём загружения основной системы заданными внешними силами и специально подобранными реакциями отброшенных связей, обеспечивающая такие же перемещения, как и заданной системе. Это достигается за счёт приравнивания к нулю перемещений точек приложения «лишних» связей по направлениям этих связей. ; (P1 ; P2 ; ... X1 ; X2 ; ...) = 0 , т.е. перемещение точки наложения первой связи по направлению этой связи от действия внешних сил P1 ; P2 ;) и реакций «лишних» связей X1 ; X2 ; ...) отсутствует.

Число таких уравнений равно числу таких отброшенных «лишних» связей.

Основная и эквивалентная система для рам

При выборе основной системы для рам необходимо помнить, что статическая определимость является необходимым, но недостаточным признаком правильно выбранной основной системы.

Рама, представленная на рис. 6,а, является 6 раз статически неопределимой.

Для неё можно предложить множество вариантов систем, некоторые из них представлены на рис. 6,б, в, г.

Основная система выбрана правильно, если она обеспечивает кинематическую неизменяемость вновь полученной рамы и не включает в себя дополнительных связей, отсутствующих в заданной системе. Необходимо отметить, что недопустимо также и использование мгновенно кинематически изменяемых систем, подобно представленной на рис.7.

Связи, наложенные на систему допускают поворот рамы относительно точки А на малый угол. При этом реакция в опоре В достигает бесконечности. Для рассматриваемой рамы и предложенных основных систем (рис.6) эквивалентные системы будут выглядеть следующим образом (рис.8).

Наиболее рациональным будет вариант «в» (рис.3), при котором часть неизвестных окажутся равными нулю. Более подробно об этом будет сказано при разборе примеров.

Основная и эквивалентная системы для балок

При выборе основной системы для балок возможны два подхода. В одних случаях за «лишние» неизвестные целесообразно принимать вертикальные составляющие опорных реакций (рис.9,а). Тогда основной системой будет статически определимая балка значительной длины (рис.9,б), а эквивалентной - эта же балка, нагруженная внешними силами и специально подобранными усилиями X , обеспечивающими отсутствие вертикальных смещений на опорах В и С (рис.9,в).

В других случаях в качестве «лишних» неизвестных целесообразно взять надопорные изгибающие моменты (рис.10).

В этом случае основной системой будет ряд последовательно стоящих статически определимых балок, а эквивалентной - эти же балки нагруженные внешними нагрузками и надопорными моментами, выполняющими функции неизвестных усилий. Величина моментов должна быть подобрана так, чтобы не было разрыва сплошности балки и углы поворота концевых сечений одной балки относительно другой отсутствовали.

статический рама балка сопротивление

Составление канонических уравнений метода сил и их решение

Основные положения сопротивления материалов, используемые при расчёте рам и балок

Принцип неизменяемости начальных размеров.

Рассматриваемые конструкции рам и балок являются достаточно жёсткими, а материал, из которого они изготовлены, достаточно упругим. Нагрузки, действующие на конструкцию, не вызывают в её элементах пластических деформаций. Все деформации происходят в пределах упругости, перемещения (как линейные, так и угловые) настолько малы, что форма и размеры конструкции практически не изменяются. Это позволяет использовать для расчётов постоянную схему, сохраняющую свою первоначальную форму и размеры. Такой подход открывает широкие возможности для применения принципа независимости действия сил.

Принцип независимости и сложения действия сил.

Так как конструкция работает в пределах упругости, то конечный результат силового воздействия не зависит от порядка приложения сил.

Применительно к случаю статически неопределимых рам и балок это означает следующее: если на раму (балка) действует группа внешних сил, то внутренние усилия, в интересующем сечении, или смещения, в интересующем направлении, могут быть вычеслины от каждой силы отдельно, а результаты просуммированы.

Так, например, при определении суммарного изгибающего момента в сечении балки (рис.11, а) можно построить отдельно эпюры от «m» и «P», а результаты сложить (рис.11, б). В случае необходимости можно поступить и наоборот: «расслоить» сложную эпюру (на участке ВС) на более простые (рис.11, в).

Всякая внешняя нагрузка может быть представлена в виде произведения I*P или I*m, где I имеет точку приложения и направление действия, а сомножитель Р определяет абсолютное значение силы (или момента). Аналогично может быть представлено любое известное или неизвестное усилие Х, т.е. Х=1*Х . Приём расслоения эпюр используется и при определении перемещений, возникающих вследствие действия внешних сил. Перемещения принято обозначать ?ik?и??ik, где первый индекс (i) обозначает точку и направление перемещения, а второй (k) указывает на силу, послужившую причиной перемещения. Так для схемы нагружения, представленной на рис.11, перемещение в точке А по направлению силы «Р» будем считать первым направлением, а саму силу Р - первой силой; момент «m», приложенный в точке В - второй силой.

Тогда перемещение (прогиб) в точке А будет: