Материал: Расчет статических неопределённых систем (рам и балок)

Соответственно, угол поворота сечения в точке В будет равен:

Взаимность перемещений.

Перемещение точки приложения первой силы по направлению первой силы, вызванное второй силой, равно перемещению точки приложения второй силой, если силы между собой равны, т.е.

Так, в рассмотренном выше примере,

, а

Таким образом, если найден коэффициент, то нет обходимости вычислять коэффициент, и при решении задач можно сократить объём вычислений.

Канонические уравнения метода сил

Используя всё выше изложенное, можно приступить к составлению уравнений, описывающих особенности работы статически неопределимых рам и балок.

Статически неопределимые рамы.

Подробный разбор раскрытия статической неопределимости у рам.

На рис. 12,а изображена плоская статически неопределимая рама с защемлёнными концами.

Эта рама трижды статически неопределима. Наиболее рациональным вариантом эквивалентной системы будет вариант, приведенный на рис. 12,б. Заданная конструкция рамы предполагает, что перемещения в точке В (защемлены) по всем трём направлениям (1,2,3) отсутствуют, т.е.

В развёрнутом виде это может быть записано следующим образом:

Полученная система уравнений носит название системы канонических уравнений метода сил. Для её решения необходимо построить эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (грузовая эпюра) (рис. 12,в) и единичных усилий (Х1=1; Х2=1; Х3=1;) (рис. 12,г) и пользуясь методом Мора вычислить коэффициенты канонических уравнений (если возможно воспользоваться способом Верещагина)

В рассматриваемом примере:

При определении коэффициентов необходимо помнить следующее:

Коэффициенты, имеющие двойные одинаковые индексы, называются главными. Они вычисляются умножением эпюр от единичных нагрузок самих на себя. Эти коэффициенты всегда положительны.

Коэффициенты имеющие разные индексы, называются побочными. Они вычисляются умножением эпюр от разных единичных сил друг на друга и могут быть положительными, отрицательными, нулевыми. Коэффициенты: и т.д. - попарно равны между собой (на основании теоремы о взаимности перемещений).

Грузовые коэффициенты вычисляются умножением грузовой эпюры соответствующую единичную. При вычислении грузовых коэффициентов площади всегда берутся с криволинейной эпюры, а ордината под её центром тяжести - с линейной. Эти коэффициенты могут быть: положительными, отрицательными, нулевыми.

Найденные значения коэффициентов необходимо подставить в систему уравнений и решить последнюю.

Задача считается решённой, если найдены значения всех неизвестных и построена суммарная эпюра изгибающих моментов. построение суммарной эпюры может быть выполнено двумя способами.

При первом способе построения основную систему нагружают внешними нагрузками и найденными значениями неизвестных усилий (рис. 12,д). Если в результате решения системы уравнений, оказалось, что какое-то из неизвестных имеет знак минус (в нашем случае Х2= -3р/64), то при нагружении этим усилием основной системы необходимо изменить его направление на противоположенное. Дальнейшее построение эпюры изгибающих моментов выполняется по общим правилам, т.е. для каждого участка рамы записываются уравнения изгибающих моментов и производятся соответствующие подсчёты.

Рама, представленная на рис. 12,д имеет три участка, для которых могут быть записаны следующие уравнения:

участок (ВС):

2. участок (СD):

3. участок (DА):

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 12,е.

При другом способе построения, эпюра М? , построенных от действительных значений Х1;Х2 и т.д., найденных при решении системы уравнений, и грузовой эпюры. В нашем случае: эпюры от Х1;Х2;Х3; (рис. 12,ж) и эпюры от внешних нагрузок (рис. 12,в).

Суммирование производится по точкам. Точка В

Точка С

Точка D

Точка A

Найденные значения соответствуют вычисленным ранее при построении суммарной эпюры первым способом (рис. 12, е).

Проверка правильности полученного решения.

Известно, что перемещение по напровлению действия связи должно отсутствовать. Это условие и используется при проверке.

Для исследуемой рамы выбирают новую основную систему (рис. 13,а) и нагружают её единичной нагрузкой, действующей по направлению одной из отброшенных связей (рис. 13,б). От действия этой нагрузки строят единичную эпюру (рис. 13,в). Эту эпюру по правилу Верещагина перемножают с эпюрой М (рис. 12,е); результат перемножения должен дать 0. В ряде случаев непосредственное вычисление площадей элементов суммарной эпюры и определение их центров тяжести бывает затруднительно.

Поэтому перемножение суммарной эпюры на единичную можно заменить перемножением составляющих суммарной эпюры (рис. 12,в,ж) на единичную (рис. 13,в) с последующим суммированием результатов.

Угол поворота сечения в точке А (рис. 12) оказался равным нулю, что соответствует действительности, т.к. углы поворота защемлениях отсутствуют.

Пример расчёта статически неопределимых рам.

Пример I. Для рамы, изображённой на фиг. 14,а требуется раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру изгибающих моментов. Моменты инерции стоек рамы и её горизонтального элемента (ригеля) различны и показаны на чертеже. Число неизвестных опорных реакций, рассматриваемой рамы, равно пяти, так что две из них являются «лишними». Основная и эквивалентная системы, а так же эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от лишних неизвестных Х1 и Х2 = 1 показаны на фиг. 14,б, в, г, д, е. Канонические уравнения метода сил имеют вид:

Коэффициенты этих уравнений вычислим по формуле Верещагина:

Подставим найденные значения коэффициентов в систему канонических уравнений и решим последнюю.

Если принять:

После этого одним из выше указанных методов строим суммарную эпюру изгибающих моментов (фиг. 15).

Пример II. Для рамы изображённой на фиг.16,а, требуется раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру изгибающих моментов.

Число неизвестных опорных реакций рассматриваемой рамы равно четырём, так что одна из них является лишней.

Основная и эквивалентная системы, эпюры от заданных нагрузок и эпюра от Х1 =1 показаны на фиг.16,б,в,г,д,е.

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

Коэффициенты будем определять по правилу Верещагина.

Подставим найденые коэффициенты в каноническое уравнение получим:

Строим сумарную эпюру изгибающих моментов (фиг. 17,а,б)

Пример 3. Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с симметричным нагружением (рис.18,а).

Необходимо построить суммарную эпюру изгибающих моментов проверить правельность решения.

Эта рама три раза статически неопределима.

В качестве лишних неизвестных выступают внутренние силовые факторы на оси симмтрии (рис.18,б и рис.18,в):

изгибающий момент X1,

пордольная сила X2,

поперечная сила X3.

Относительно оси симметрии X1 и Х2 являются симметричными нагрузками; Х 3 - кососимметричной нагрузкой.

Составим систему канонических уравнений

и построим соответствующие эпюры изгибающих моментов отединичных сил (рис.18, г) и внешних нагрузок (рис.18, д).

При подсчётах получается, что .

Тогда: