Материал: Раскрытие неопределенностей в теории пределов. методические указания для студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. Гончаров М.Д., Муштенко В.С

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

Кафедра высшей математики

Раскрытие неопределенностей в теории пределов

Методические указания

для студентов 1-го курса

всех специальностей и форм обучения

Воронеж 2013

УДК 51.07

ББК 22161.я7

Составители М.Д. Гончаров, В.С. Муштенко

Раскрытие неопределенностей в теории пределов: метод. указания для студ. всех спец. и форм обучения / Воронежский ГАСУ; сост. : М.Д. Гончаров, В.С. Муштенко. – Воронеж, 2003. – 41 с.

Содержат классификацию пределов функций и рекомендации по раскрытию неопределенностей различных видов, а также примеры для решения пределов.

Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения.

Библиогр.: 13 назв.

УДК 51.07

ББК 22161.я7

Рецензент – А.А. Седаев, д. ф.-м. н., профессор кафедры

высшей математики Воронежского ГАСУ

Введение

Общий курс высшей математики является фундаментом математического образования инженера и играет основную роль при освоении специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами различных специальностей. Одним из важнейших понятий современной математики является понятие предела последовательности, переменной величины, функции. На понятии предела основаны многие другие фундаментальные понятия: непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда и др. Целью данных методических указаний является оказание помощи студентам 1-го курса всех специальностей как дневной, так и заочной форм обучения при вычислении пределов функций, представляющих так называемые неопределенности разных видов.

В предлагаемых методических указаниях рассмотрены все наиболее употребляемые виды неопределенностей, встречаемые при решении примеров и задач на вычисление пределов функций, даются необходимые методы и приемы раскрытия неопределенностей, соответствующих видов.

1. Понятие, определние и свойства предела функции

Для того чтобы хорошо освоить методы вычисления пределов (раскрытие неопределенностей), необходимо знать ряд основных понятий, определений и свойств пределов функции.

Рассмотрим связь переменных и в виде функциональной зависимости и предположим, что независимая переменная в процессе своего изменения стремится к пределу (постоянному числу ) . При любом способе стремления к своему пределу функция также стремится к некоторому определенному пределу .

Это записывается так:

или при .

Приведенные рассуждения дают понятие о пределе функции с элементарных позиций.

Для строгого определения предела функции в точке предполагают, что функция определена в некоторой окрестности точки , исключая, может быть, саму точку.

Определение. Число А называется пределом функции в точке , если для любого  > 0 существует число  () >0 такое, что при выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Аналогично число А называется пределом функции при х, стремящемся к  (предел на бесконечности), если для любого  > 0 существует число М () >0 такое, что при выполняется неравенство .

И записывают:

или

При вычислении пределов функций необходимо помнить их свойства :

1. , С – постоянная.

2. , где С – постоянная.

3. .

4. . (1)

5. , если .

6. .

7. Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

. (2)

Это свойство означает, что знак функции и знак предела можно менять местами и это является основным условием при вычислении пределов элементарных функций в любой точке из их области определения. Нахождение предела сводится к подстановке в данную функцию вместо х предельного значения аргумента .

Пример

Вычислить пределы функций.

1 .

Замечание. Все указанные соотношения (1) верны и при .

2. .

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если ее предел в этой точке равен нулю, т.е.

. (3)

Аналогично определяются бесконечно малые функции при .

Из свойств пределов [1, 2, 4] следует, что сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Об отношении двух бесконечно малых функций такого общего заключения сказать нельзя.

Отношение двух бесконечно малых функций в зависимости от характера функций в числителе и знаменателе может оказаться равным либо конечному числу, либо бесконечно малой или бесконечно большой функции.

В этом случае говорят о "неопределенном выражении" или "неопределенности" типа (вида) (символическая запись отношения двух бесконечно малых функций). Вычисление таких пределов называется "раскрытием неопределенностей".

Пример

Найти .

Решение

Непосредственная подстановка предельного значения в функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы вычислить этот предел, т.е. раскрыть полученную неопределенность, выполним преобразование:

разложим выражение, стоящее в числителе, на простые множители.

Тогда получим

=

Сокращение дроби на законно, т.к. условие предполагает (мы сокращаем, т.е. делим числитель и знаменатель не на ноль, а на бесконечно малую величину).