Материал: Раскрытие неопределенностей в теории пределов. методические указания для студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. Гончаров М.Д., Муштенко В.С

Определение. Функция, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой при , т.е. если – бесконечно малая, то – бесконечно большая функция.

(4) (аналогично при или при , или ).

Это означает, что по мере стремления к значения функция неограниченно возрастают и могут по модулю превзойти любое положительное число N, как бы велико оно ни было. Предел бесконечно большой функции равен бесконечности.

Примером бесконечно больших функций могут служить функции:

;

при , так как .

Из теорем о пределах [1, 2, 4] следует, что сумма (но не разность!) и произведение (но не частное!) двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

О разности и отношении двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя.

В зависимости от характера изменения бесконечно больших функций их отношение или разность может оказаться либо числом, либо бесконечно малой, либо бесконечно большой величиной. В этих случаях говорят о "неопределенных выражениях" или "неопределенностях" вида или вида .

Замечание. Из определения бесконечно большой функции следует, что функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая, т.е., если

, то . (5)

Существуют и другие выражения, дающие "неопределенные выражения" (неопределенности) таких типов, как , , , читаются соответственно: «один в степени бесконечности», «ноль в степени бесконечности», «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль»).

Неопределенности указанных типов могут быть получены от пределов следующих выражений:

1. Если и , то

2. Если и , то .

3. Если и , то .

4. Если и , то .

Замечание. Во всех рассмотренных пределах и в дальнейшем предельное значение аргумента может быть любым, т.е. , . Сводя воедино все типы рассмотренных неопределенностей, их можно представить так:

Для раскрытия неопределенностей часто применяют так называемые "замечательные пределы" [1, 4, 6].

3. Первый замечательный предел

Предел вида

(6)

называют первым замечательным пределом.

Этот предел раскрывает неопределенность вида .

Частными случаями первого замечательного предела являются:

(7)

,

Для вычисления пределов с помощью первого замечательного предела удобно его записать в структурном (условном) виде

(8)

Если в процессе преобразования данной функции удается получить выражение, подобное (8), то говорят, что выделили первый замечательный предел, и заменяют его единицей.

Пример 1

Вычислить .

Р ешение

Умножая числитель и знаменатель на 5, учитываем, что если , то и , получаем

Пример 2

Вычислить

Решение

4. Второй замечательный предел

Предел вида

(9)

или (9, а)

называют вторым замечательным пределом.

В выражениях (9) и (9, а) число е 2,72 – неперово число.

Замечание 1. Доказательства всех свойств и утверждений, приводимых в методических указаниях, можно найти в любом учебнике по математическому анализу [1, 6, 8] или в курсе лекций, читаемых на потоке.

Замечание 2. Для раскрытия неопределенностей полезно знать некоторые другие так называемые важные пределы, являющиеся следствием второго замечательного предела.

. (10)

. (11)

. (12)

. (13)

. (14)

Второй замечательный предел удобно записывать в структурном виде (по аналогии со структурным видом (8) первого замечательного предела):

(15)

.

При получении подобного выражения (15) говорят, что выделен второй замечательный предел.

Пример

Вычислить .

Решение

.