Материал: Раскрытие неопределенностей в теории пределов. методические указания для студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. Гончаров М.Д., Муштенко В.С
В квадратных скобках выделен второй замечательный предел.
Следует заметить, что и при раскрытии неопределенностей на основе свойств пределов или с помощью замечательных или важных пределов необходимо, по возможности, осуществлять элементарные преобразования функций, предел которых разыскивается. Так, в рассматриваемом примере прежде, чем записать предел в структурном виде, необходимо предварительно выполнить два элементарных действия: сначала почленно делим числитель на знаменатель (чтобы получить единицу в скобке), а затем выделяем единицу в числителе дроби, опуская числитель в знаменатель знаменателя.
Попытаемся систематизировать неопределенности и указать методы преобразования функций в заданных пределах.
5. Раскрытие неопределенностей вида
1. Если неопределенность вида
получена от функций, представляющих
отношение двух многочленов, т.е.
,
то неопределенность раскрывается
разложением многочленов на простейшие
многочлены и сокращением дроби на общие
множители.
Примеры
Вычислить пределы:
1.
2.
Замечание. Из определения бесконечно малой и бесконечно большой функции [2] следуют пределы:
,
(
);
,
,
;
(16)
(
),
(
).
Пример1
Вычислить предел
Решение
Если
,
т. е.
и (
является бесконечно малой отрицательной
величиной, то
является отрицательной бесконечно
большой величиной. Тогда
Пример 2
Вычислить предел
Решение
Если
,
т. е.
,
то
и является бесконечно малой положительной
величиной, а
и, следовательно,
2. Если неопределенность вида получена от отношения двух функций, содержащих иррациональность, то умножают числитель и знаменатель на выражение, сопряженное данному, т.е. избавляются от иррациональности.
Замечание. Произведение
сопряженных иррациональных выражений
дает рациональное выражение, например:
.
Примеры
Вычислить пределы:
1.
Решение
=
2.
Решение
3. Если неопределенность получается от выражений, содержащих тригонометрические функции, то применяем первый замечательный предел, предварительно преобразовывая это выражение по формулам тригонометрии.
Примеры
Вычислить пределы:
1.
=3.
В рамке выделен первый замечательный предел.
2
.
3.
.
Замечание. В рассмотренных примерах использовались следующие формулы школьного курса тригонометрии [9, 12]:
6. Раскрытие неопределенностей вида
Если неопределенность вида
получена от отношения двух многочленов,
или если дробь
содержит иррациональные выражения, то
чтобы найти предел данной дроби (т.е.
раскрыть эту неопределенность), делят
числитель и знаменатель на высшую
степень
.
Примеры
Вычислить пределы:
1.
(разделили на
).
2.
(разделили на
).
3.
(разделили на
).
Обобщая вышерассмотренные примеры, можно сделать следующий вывод: при предел отношения двух многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях x. Если же степени не равны, то предел их отношения равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя, и равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя. Поэтому вычисление пределов в подобных случаях может быть значительно упрощено.
Примеры
Вычислить пределы:
1.
.
2.
3.
.
4 .
(степень числителя больше степени
знаменателя).
5.
(степень числителя меньше степени
знаменателя).
6 .
(т.к. степень числителя меньше степени
знаменателя).
Если неопределенность вида
получена от показательных функций, то
при
>1
к бесконечности
стремится быстрее та показательная
функция, у которой основание больше. В
этом случае надо вынести эту функцию
за скобку.
7.
