Материал: Равновесие твердого тела (90
Задача 3
На схемах 0 – 9 ( рисунок 9) показан брус, ось которого – ломаная линия. На брус действует сила Р , пара сил с моментом М и распределенная нагрузка интенсивностью q . Определить реакции опор. Числовые значения заданы в таблице 2.
Рисунок 9
16
3.2Порядок решения задач
1Выбрать объект исследования, то есть тело, равновесие которого надо рассмотреть для определения искомых величин.
2Приложить к нему заданные силы и силы реакции связей.
3Определить, какая получилась система сил и сколько уравнений равновесия имеет данная система.
4Убедиться, что задача является статически определенной, то есть число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия.
5Указать координатные оси.
6Составить уравнения равновесия для полученной системы сил и решить эти уравнения.
4 Пример выполнения лабораторной работы №1
Лабораторная работа №1
Равновесие твердого тела
Задача 1
Однородная горизонтальная балка АВ весом Р = 120 Н в точках А и Е соединена шарнирно с невесомыми стержнями АК и ЕL, а в точке В имеет шарнирно подвижную опору (рисунок 10). В точке D под углом β = 45° к балке приложена сила F = 60 кН. Расстояния АЕ = 2 м; ЕD = 3 м; DB = 1 м. Определить реакции опор в точках А, В, С.
Рисунок 10
17
Дано: Р = 120 кН, F = 60 кН, a = 30°, b = 45°
Определить реакции опор в точках А, С, В.
Решение.
Рассмотрим равновесие балки АВ (рисунок 11). На нее действуют активные силы: F и вес балки Р , приложенный в середине балки (АС = СВ = 3 м).
Связями для балки являются стержни АК и EL и опора в точке В. Отбросим связи и заменим их действие силами реакции связей (рисунок 11).
Рисунок 11
Реакция N B в точке В направлена перпендикулярно к опорной плоскости,
а реакции S A и SE невесомых стержней АК и ЕL направлены вдоль этих стержней
и приложены к балке.
Для полученной произвольной плоской системы сил составим три
уравнения равновесия:
∑ Fkx |
= 0, |
- S A × cos 60° + F × cos 45° - N B cos 60° = 0 |
(6) |
||
∑ Fky |
= 0, |
- S A ×sin 60° - SE - P - F × sin 45° + N B × sin 60° = 0 |
(7) |
||
∑ МЕ ( |
|
)= 0, |
SA ×sin 60° × AE - P ×CE - F ×sin 45° × DE + NB ×sin 60° × BE = 0 |
(8) |
|
Fk |
|||||
18
Данная задача является статически определенной, так как число
неизвестных ( N B , S A , SE ) равно числу уравнений.
Моменты сил S A , F , N B относительно точки E найдены по теореме Вариньона путем разложения этих сил на две составляющие, направленные по координатным осям Х и У (рисунок 11). Так как линии действия составляющих,
направленных по оси Х (SАх = S·cos60°; Fх = F·cos45°, NВх = NВ·cos60°) проходят через центр моментов, точку E, то их моменты относительно этой точки равны нулю, и в уравнение (3) вошли моменты только вертикальных составляющих этих
сил (SАу = SА·sin60°; Fy = F·sin45°, NВy = NВ·sin60°)
Из уравнения (6)
|
|
|
|
F × cos 45° |
|
|
F × |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S A = |
- N B = |
2 |
- NB = F × |
|
- NB |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
(6`) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 60° |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда уравнение (8) примет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
× sin 60° × AE - N B × sin 60° × AE - P × CE - F ×sin 45° × DE + N B × sin 60° × BE = 0 |
||||||||||||||||||||||
F |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
= - F |
|
|
× sin 60° × AE + P × CE + F × sin 45° × DE = |
|
|||||||||||||||||||
N B |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(BE - AE )× sin 60° |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
- 60 × |
|
|
× |
3 |
× 2 + 120 ×1 + 60 × |
2 |
× 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
= 57,91 |
кН |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(BE |
- AE )× sin 60° |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из уравнения (6`)
SA = F × 
2 - NB = 60 × 
2 - 57,91 = 26,94 кН
Из уравнения (7)
SE = -SA ×sin 60° - P - F ×sin 45° + NB ×sin 60° =
= -26,94 × |
3 |
-120 - 60 × |
2 |
+ 57,91× |
3 |
= -135,6 кН |
|
2 |
2 |
||||
2 |
|
|
|
|||
19
Проверка:
∑ МD (Fk )= NB ×sin 60° × DB + P ×CD + SE × DE + SA ×sin 60° × AD =
= 57,91× |
3 |
×1 +120 × 2 -135,6 |
×3 + 26,94 × |
3 |
×5 = |
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
||
= 50,15 + 240 - 406,8 +116,65 |
= 406,8 - 406,8 = 0 |
||||
Следовательно, реакции опор найдены верно. |
|||||
Ответ: SА = 26,94 кН; SЕ = - 135,6 кН; NВ = 57,91 кН.
Знак минус, полученный для значения силы SЕ, указывает, что эта сила имеет направление, противоположное принятому на рисунке 11, то есть стержень ЕL сжат.
Задача 2
Балка АВ заделана одним концом в стену (рисунок 12). На участке СВ равномерно распределена нагрузка интенсивностью q = 0,5 кН/м, в точке В на нити, переброшенной через блок О; подвешен груз весом Р = 2кН. К балке АВ приложена пара сил с моментом М = З кНм. Определить реакции жесткой заделки.
Рисунок 12
Дано: Р = 2 кН, М = 3 кНм, q = 0,5 кН/м, a = 30°
Определить реакции жесткой заделки ХА, УА, МА.
20