Курсовая работа (т): Резонансные явления в линейных и нелинейных электрических цепях и их использование в цепях

Резонансные явления в линейных и нелинейных электрических цепях и их использование в цепях

Курсовая работа

Резонансные явления в линейных и нелинейных электрических цепях и их использование в цепях

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

. ПОНЯТИЕ О ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ И РЕЗОНАНСЕ

.1 Определение электрических цепей

.2 Понятие о резонансе в физике

. РЕЗОНАНС В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

.1 Понятие и характеристика линейной электрической цепи

.2 Явление резонанса в линейной электрической цепи

.2.1 Резонанс напряжений

.2.2 Резонанс токов

.2.3 Резонанс в разветвленной цепи

.3.4 Резонанс взаимной индукции

. РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

.1 Понятие нелинейных электрических цепей

.2 Понятие нелинейной емкости

.3 Параметрический резонанс в нелинейном контуре

. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Резонанс это значительное увеличение амплитуды колебаний напряжения или тока в элементах электрической цепи. Колебательный процесс в электрических цепях можно сравнить с механическими колебаниями маятника, качелей или стального шарика, подвешенного на длинной пружине.

Колебательный процесс в механике связан с преобразованием потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Колебательный процесс в электрических цепях также связан с преобразованием энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. В связи с этим можно сделать вывод, что колебательный процесс, а, следовательно, и резонанс может возникнуть в электрических цепях, содержащих накопители энергии двух видов: в электрическом поле - емкость C и в магнитном поле - индуктивность L. В реальной электрической цепи часть электромагнитной энергии безвозвратно теряется в связи с потерями. Этот процесс моделируется активным сопротивлением R. Таким образом, электрическая цепь, содержащая элементы R, L и C называется колебательным контуром.

Актуальность темы данной работы заключается в том, что явление резонанса относится к наиболее важным с практической точки зрения свойствам электрических цепей.

Целью данной работы является подробное рассмотрение явления резонанса в линейных и нелинейных электрических цепях.

В рамках поставленной цели прорабатываются следующие задачи:

-       рассмотрение понятия резонанса и электрических цепей;

-       резонанс в линейных электрических цепях;

-       резонанс в нелинейных электрических цепях.

1. ПОНЯТИЕ О ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ И РЕЗОНАНСЕ

.1 Определение электрических цепей

Электрической цепью называется совокупность элементов, образующих пути для прохождения электрического тока. Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.

Активными элементами считаются источники электрической энергии (источники напряжения и тока), к пассивным элементам относятся резисторы, катушки индуктивности, электрические конденсаторы.

Количественные характеристики элементов электрической цепи называются ее параметрами. Например, параметрами источника постоянного напряжения являются его ЭДС и внутреннее сопротивление. Параметром резистора служит его сопротивление катушки - ее индуктивность L и конденсатора - емкость С [2].

Напряжение или ток, подводимые к цепи, будем называть воздействующим или входным сигналом. Воздействующие сигналы можно рассматривать как различные функции времени, изменяющиеся по некоторому закону z(t). Например, z(t) может быть постоянной величиной, изменяться во времени по периодическому закону или иметь апериодический характер. Напряжения и токи, возникающие под влиянием внешнего воздействия в интересующей нас части электрической цепи и также являющиеся функциями времени х(t), будем называть реакцией (откликом) цепи или выходным сигналом.

Любой пассивный элемент реальной электрической цепи в той или иной степени обладает активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Однако, чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи и ее расчет, реальная цепь заменяется идеализированной, состоящей из отдельных пространственно разделенных элементов R, L, С.

При этом считается, что проводники, соединяющие элементы цепи, не обладают активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Такая идеализированная цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами, и основанные на ней расчеты дают во многих случаях хорошо подтверждаемые опытом результаты.

Электрические цепи с постоянными параметрами - это такие такие цепи, в которых сопротивления резисторов R, индуктивность катушек L и емкость конденсаторов С являются постоянными, не зависящими от действующих в цепи токов и напряжений. Такие элементы называются линейными. Если сопротивление резистора R не зависит от тока, то линейная зависимость между падением напряжения и током выражается законом Ома ur = R х i_r, а вольт-амперная характеристика резистора (представляет собой прямую линию (рис. 1, а). Если индуктивность катушки не зависит от величины (протекающего в ней тока, то потокосцепление самоиндукции катушки ψ прямо пропорционально этому току ψ= L х i_l (рис. 1, б). Наконец, если емкость конденсатора С не зависит от приложенного напряжения uc то заряд q, накопленный на пластинах, и напряжение u_c связаны между собой линейной зависимостью графически показанной на рис. 1, в.

 <#"903447.files/image002.gif"> вызывает в каком-либо ее элементе (или участке) появление тока , то изменение величины  в  раз вызывает изменение тока  в такое же число раз. То есть выполняются соотношения [5, c.381 - 383]:

; (2.1)

, (2.2)

Они выражают основное свойство линейной цепи. Помимо этого такие цепи удовлетворяют принципу суперпозиции, согласно которому реакция линейной цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым воздействием в отдельности.

Иными словами, если приложенное напряжение можно представить в виде суммы  слагаемых

, (2.3)

то возникающий в каком-либо элементе (или участке) цепи ток также будет представлять собой сумму  слагаемых

. (2.4)

В последнем выражении  представляет собой ток, появление которого вызвано воздействием напряжения .

Еще одним свойством линейных электрических цепей является свойство дуальности. При этом под дуальностью понимают схожесть по структуре выражений, описывающих зависимость напряжения от тока для одного элемента цепи, и тока от напряжения - для другого. Соответственно сами элементы называются дуальными.

Например, для индуктивности L связь между напряжением и током определяется известным соотношением:

. (2.5)

Дуальным к нему будет уравнение, связывающее ток через другой элемент и напряжение на нем, сходное по виду. Этим уравнением является зависимость между током и напряжением для емкости [5, 8]:

. (2.6)

Таким образом, L и С - дуальные элементы.

К числу уравнений такого типа можно отнести также известные выражения:

, (2.7)

, (2.8)

(2.9)

(2.10)

Для последней пары уравнений  и  - сопротивление и проводимость соответственно. Для линейных электрических цепей свойство дуальности проявляется в тождественности уравнений для токов и напряжений при замене всех входящих в них величин на дуальные. Например, уравнениям контурных токов одной цепи можно поставить в соответствие дуальные уравнения узловых потенциалов другой (или наоборот). Пример дуальных цепей приведен на рис. 2 [7, c.52 - 54].

Системы уравнений, описывающие данные цепи, также являются дуальными:

для схемы рис. 2, а ,  (2.11);

для схемы рис. 2, б , (2.12).

                   А                                           б

Рис. 2. Дуальные цепи

Обобщая сказанное, можно ввести следующее определение: дуальными являются пары физических величин, понятий и законов электрических цепей, соответствующие друг другу в дуальных соотношениях.

2.2 Явление резонанса в линейной электрической цепи

2.2.1 Резонанс напряжений

В электрической цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические колебания энергии между магнитным полем катушки:

(2.13)

и электрическим полем конденсатора:

.(2.14)

Угловая частота этих колебаний wo, называемых свободными или собственными, определяется структурой цепи и параметрами ее отдельных элементов R, L, C.

Резонансным режимом цепи или просто резонансом называется явление увеличения амплитуды гармонических колебаний энергии в цепи, наблюдаемое при совпадении частоты собственных колебаний wo с частотой вынужденных колебаний w, сообщаемых цепи источником энергии (w_o = w).

На этом основании условие для резонансного режима можно сформулировать через параметры элементов схемы, а именно: входное сопротивление и, соответственно, входная проводимость схемы со стороны выводов источника энергии должна носить чисто активный характер: Zвх=Rвх; Yвх=Gвх; Xвх=0; Bвх=0; или в комплексной форме: Im[Zвх]=0, Im[Yвх]=0.

Резонанс в цепи с последовательным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса напряжений. Простейшая схема такой цепи показана на рис.3.

Рис.3. Структура резонансной цепи

Комплексное входное сопротивление схемы:

.(2.14)

Условие резонанса напряжений:

_э = XL - XC =0 или wL - =0, (2.15)

откуда w₀ = - резонансная или собственная частота.

Из полученного равенства следует, что резонансного режима в цепи можно достичь изменением параметров элементов L и C или частоты источника w. В резонансном режиме полное сопротивление схемы имеет минимальное значение и равно активному сопротивлению:

= R, (2.16)

ток максимален и совпадает по фазе с напряжением источника: I=E/R; j = 0.

Векторная диаграмма напряжений и тока показана на рис. 4 [7, c.62].

Рис.4. Векторная форма резонанса напряжений

Напряжения на реактивных элементах равны по модулю, противоположны по фазе и взаимно компенсируют друг друга:

; (2.17)

, (2.18)

а напряжение на резисторе равно напряжению источника: UR=IR=U=E.

Напряжения на реактивных элементах могут значительно превосходить напряжение источника U = Е при условии, что XL=XC>>R:

(2.19)

Выясним энергетические процессы, протекающие в цепи в резонансном режиме. Пусть в цепи протекает ток i =Imsinwt, тогда напряжение на конденсаторе составит:

(2.20).

Сумма энергий магнитного и электрического полей равна:

(2.21)

Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей равна постоянному значению. Между магнитным и электрическим полями происходит непрерывный обмен энергией, суммарное значение которой постоянно, а обмен энергией между источником и цепью отсутствует, при этом поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды.

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов R, L, C в технике получила название последовательного колебательного контура.

Свойства такой цепи как колебательного контура характеризуют следующие параметры, такие, как резонансная частота (2.22), волновое сопротивление (2.23) и добротность контура (2.24) [2, 6].

(2.22)

r =  (2.23)

(2.24)

Чем больше добротность контура Q, тем выразительнее проявляются в нем резонансные явления, например, напряжения на реактивных элементах больше напряжения источника в Q раз: UL = UC = UQ.

При изменении частоты источника w = var будут изменяться сопротивления реактивных элементов и, как следствие, будут изменяться ток в цепи и напряжения на отдельных участках.

Частотными характеристиками контура называются зависимости сопротивлений отдельных элементов и участков от частоты:

_L =wL, (2.25)_C = (2.26)=XL-XC, (2.27)=(2.28)

Рис.6. Графическое отображение частотных характеристик

Резонансными характеристиками называются зависимости режимных параметров от частоты: U_L, U_C, I, j = f(w) (рис. 7).

Полосой пропускания резонансного контура называют область частот Dw = w1-w2, на границах которой ток I в  раз меньше своего максимального значения, т.е. I=0, 707Imax. Полоса пропускания контура обратно пропорциональна его добротности: Dw = 1/Q. На рис. 7 в относительных единицах представлено семейство резонансных характеристик с различными значениями добротности [2, c.118].