Курсовая работа (т): Резонансные явления в линейных и нелинейных электрических цепях и их использование в цепях

-       возможность существования нескольких установившихся режимов цепи при одних и тех же параметрах элементов;

-       скачкообразные изменения режима цепи и т.д.

3.2 Понятие нелинейной емкости

Уравнение вынужденных колебаний нелинейного контура при нечетной характеристике возвращающей силы и не слишком больших амплитудах колебаний имеет вид [3]:

Параметр g характеризует нелинейность контура. Предполагается, что gx² << 1.

Исследование уравнения (3.4) показывает, что частота собственных колебаний системы зависит от амплитуды А колебаний и определяется выражением:

w² = . (3.4)

Из этого выражения видно, что при увеличении амплитуды колебаний собственная частота нелинейного контура, равная w₀ при малых амплитудах, увеличивается при g > 0 и уменьшается при g < 0 (рис. 14).

Рис.14. Значения собственной частоты нелинейного контура

Знак g определяется поведением средней величины нелинейного параметра контура при изменении амплитуды. В нашем случае нелинейным параметром является ёмкость. Если с ростом амплитуды колебаний средняя емкость контура увеличивается, то g < 0. Если же средняя емкость падает с ростом амплитуды, то g > 0. Решение уравнения (3.4) может быть найдено, например, методом гармонического приближения или методом медленно меняющихся амплитуд. Семейство резонансных кривых нелинейного контура, полученное указанными методами при g > 0, заданном значении d и при различных значениях амплитуды внешней силы, показано на рис. 15.

Как видно из рис. 2, резонансные кривые могут быть двух видов.

Рис.15. Семейство резонансных кривых нелинейного контура

Кривые одного вида соответствуют значениям амплитуды внешней силы, меньшим некоторой критической величины, и характеризуются однозначной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы. Резонансные кривые этого вида представляют собой несколько деформированные резонансные кривые для обычного линейного контура. Максимум у них смещён в сторону больших частот в соответствии с уравнением (3.5) при g > 0 [3, 6].

Другой вид резонансных кривых соответствует амплитудам внешней силы, большим некоторого критического значения P_0кр. У резонансных кривых этого вида имеются участки с неоднозначной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия. В области частот, где резонансные кривые являются трехзначными, среднее значение амплитуды неустойчиво, поэтому при экспериментальном исследовании резонансных кривых наблюдаются скачки амплитуды при достижении границ неустойчивой области. При противоположном знаке g резонансные кривые будут иметь наклон в противоположную сторону.

В системах с нелинейными потерями изменение амплитуды колебаний не влияет на собственную частоту колебательного контура. Поэтому резонансные кривые таких систем не имеют наклона. Характерной особенностью резонансной кривой контура с нелинейными потерями является наличие плоской вершины (обычно потери увеличиваются с ростом амплитуды). В реальных системах с нелинейными элементами (например, с полупроводниковыми диодами) могут одновременно меняться активные и реактивные параметры. По форме резонансной кривой, полученной экспериментально, можно судить о том, какой из нелинейных параметров играет в схеме бóльшую роль.

3.3 Параметрический резонанс в нелинейном контуре

Параметрическим резонансом называется явление возбуждения колебаний за счет периодического изменения энергоемкого параметра колебательной системы. Легче всего явление параметрического резонанса наблюдается, когда частота внешней силы p близка к удвоенной собственной частоте 2w₀ резонансной системы, т. е. когда p » 2w₀.

Если в контуре с нелинейным конденсатором происходят вынужденные колебания, то под их влиянием модулируется емкость нелинейного конденсатора. Частота и амплитуда модуляции емкости определяются частотой и амплитудой вынужденных колебаний. Параметрическое возбуждение колебаний возникает, если p » 2w₀ и глубина модуляции емкости имеет достаточно большую величину. Последнее условие выполняется лишь при достаточно большой амплитуде вынужденных колебаний с частотой p. Для теоретического исследования явления параметрического резонанса необходимо проанализировать решения уравнения 3.5, описывающего движения в контуре с нелинейной реактивностью при действии на этот контур внешней силы с частотой p [3].

, (3.5)

При параметрическом возбуждении колебаний в контуре будут одновременно наблюдаться два процесса: вынужденные колебания с частотой p и параметрически возбужденные колебания с частотой  » w₀, поэтому решение уравнения (3.6) целесообразно искать в виде суммы колебаний с частотами p и :

x = Acospt + Bcos(3.6)

Для A и B методом медленно меняющихся амплитуд могут быть получены следующие выражения:

A = , (3.7)

B = . (3.8)

Здесь x =  - расстройка с учетом поправки на неизохронность нелинейного контура, m = 4a²A² - коэффициент модуляции реактивного параметра с частотой p; q = .

Из выражений для x и m следует, что коэффициент a при x² в уравнении (3.6) определяет глубину модуляции реактивного параметра при наличии колебаний в нелинейном контуре, а от коэффициента g при x³ зависит только величина поправки к собственной частоте w₀ на неизохронность нелинейного контура.

На рис. 16 приведен график зависимости амплитуды B параметрически возбужденных колебаний от частоты p внешней силы при g > 0. Выражения для B, x, m и q позволяют найти частоты внешней силы, соответствующие точкам D и C на рис. 16:

p_D = 2w₀, (3.9)

p_C = 2w₀(3.10)

Эти точки определяют полосу частот, в пределах которой возможно параметрическое возбуждение колебаний. При уменьшении амплитуды внешнего воздействия точки D и C сближаются, и при m £ 4q, т. е. при амплитуде внешней силы P₀ £ , становится невозможным [3, 5].

Рис.16. График зависимости амплитуды B параметрически возбужденных колебаний от частоты p внешней силы при g > 0

На практике в качестве нелинейной емкости обычно используется барьерная емкость запертого p-n-перехода полупроводникового диода. Для объяснения физической природы барьерной емкости рассмотрим кристалл полупроводника, в котором имеется область с электронной проводимостью (область n) и область с дырочной проводимостью (область p).

При контакте p- и n- областей часть электронов из n- области переходит в область p, а часть дырок из переходит в n- область; в последней вблизи границы образуется нескомпенсированный положительный заряд неподвижных ионизированных доноров.

Соответственно в p- области из-за ухода дырок образуется отрицательный объемный заряд неподвижных ионизированных акцепторов. Между этими зарядами возникает электрическое поле, которое препятствует дальнейшему переходу электронов в область p и дырок в область n. Разность потенциалов между областями p и n, образующаяся при контакте, равна разности работ выхода электронов. При подаче на запирающего напряжения V высота потенциального барьера между областями p и n возрастает на величину приложенного напряжения, увеличивается и электрическое поле в переходе. Это приводит к расширению p-n-перехода. Электроны и дырки, вытолкнутые полем из перехода, уходят вглубь областей p и n, вследствие чего увеличивается положительный объемный заряд в области n и отрицательный в области p. При подаче на p-n-переход прямого напряжения высота потенциального барьера уменьшается, переход сужается, заряды уменьшаются. Таким образом, изменения напряжения, приложенного к переходу, приводят к изменению объемного заряда в переходе, т. е. переход действует как емкость [1, 3].

Расчет показывает, что величина этой емкости зависит от напряжения на p-n-переходе в соответствии с выражением

C = C₀(3.11)

гдеC₀ - величина емкости при напряжении равном нулю,

V_k - контактная разность потенциалов,

V - приложенное напряжение.

Величина b зависит от распределения примесей в переходе. Обычно . График зависимости емкости p-n-перехода от приложенного напряжения изображен на рис. 17.

Рис. 17. График зависимости емкости p-n-перехода от приложенного напряжения

Из рисунка видно, что емкость наиболее сильно меняется при напряжении равном нулю или даже при положительных напряжениях. Однако необходимо иметь в виду, что полупроводниковый диод при положительных напряжениях начинает пропускать ток, поэтому емкость p-n-перехода оказывается зашунтированной нелинейным сопротивлением. При достаточно больших отрицательных напряжениях в p-n-переходе происходит пробой и диод начинает пропускать ток в обратном направлении. В области напряжений V_пр < V < 0 ток через диод мал и сам диод является добротным нелинейным конденсатором. При V < 0 и V < V_пр малое сопротивление шунтирует его емкость, вследствие чего добротность нелинейного конденсатора ухудшается. Поэтому при использовании полупроводникового диода в качестве нелинейной емкости необходимо так выбирать рабочую точку, чтобы не заходить в область малого активного сопротивления. Одновременно необходимо добиваться максимального изменения емкости. Возможны два способа создания необходимого смещения на диоде: подача принудительного смещения от внешней батареи и создание автосмещения, использующего ток самого диода [3, c.12].

В последнем случае напряжение смещения получается за счет выпрямления диодом переменного напряжения, возникающего на конденсаторе колебательного контура. Очевидно, что напряжение автосмещения зависит от амплитуды колебаний в контуре и по абсолютной величине растет с увеличением амплитуды.

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Каждая из программ САПР (EDA) может иметь свою специализацию и лучше выполнять основные задачи, для которых предназначалась, а чем она универсальнее, тем сложнее может быть работа с ней. Так программа PSIM (www.powersimtech.com) предназначена к анализу силовых преобразовательных устройств и систем. В этом ее специфика, это она делает лучше, чем другие программы, но, видимо, есть то, что она не делает или делает не лучшим образом. Начать работу с ней можно почти сразу, а по мере накопления опыта можно решать все более и более сложные задачи.

Завершив все соединения (рис.18), обозначив все элементы схемы и задав их величину, можно начать симуляцию либо с помощью инструментального меню, либо через основное меню (Simulate-Run Simulation).

Рис.18. Схема цепи

Рис. 19. Диалоговое окно выбора функции, отображающей результаты симуляции

В данном случае есть два измерительных прибора - вольтметры VP1 и VP2. Щелкнув по первому из них, а затем по клавишам Add -> и OK, можно получить результаты измерений первым вольтметром.

Рис. 20. Результаты измерений в окне обозревателя

А повторив всю процедуру для другого вольтметра, получить результаты измерения вторым вольтметром. Оба графика располагаются в окне обозревателя удобным образом, если перетащить их или воспользоваться средствами раздела Window основного меню, позволяющими расположить окна каскадом или «черепицей», возможность присутствующая, практически, в любом редакторе.

Как и следовало ожидать, а мы уже знаем законы Ома и Кирхгофа, ЭДС источника поровну распределяется в виде падения напряжения на двух резисторах равной величины. То есть, 10 вольт источника питания делятся на два напряжения по 5 вольт.

Есть и другая возможность увидеть эти результаты - не использовать обозреватель, а воспользоваться основным меню программы, где в разделе Simulate есть подраздел Runtime Graphs, открывающий подменю всех полученных функции при симуляции. В этом случае окно программы выглядит так:

Рис. 2.11. Вывод результатов измерений в основном окне программы

Если резисторы имеют разное сопротивление, то можно, прибегнув к расчетам, определить эти два напряжения. В первую очередь определим общее сопротивление цепи, сложив сопротивление резисторов R1 и R2. Разделим ЭДС на это сопротивление, получив ток, протекающий в цепи, а затем умножим этот ток на величину сопротивления R1, получив напряжение на нем, затем на величину R2 для получения второго напряжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Электрической цепью называется совокупность элементов, образующих пути для прохождения электрического тока. Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов. Электрические цепи с постоянными параметрами - это такие цепи, в которых сопротивления резисторов R, индуктивность катушек L и емкость конденсаторов С являются постоянными, не зависящими от действующих в цепи токов и напряжений. Такие элементы называются линейными.

Резонанс - резкое возрастание амплитуды результирующих колебаний при совпадении собственных колебаний системы. Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу над колебательной системой, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии колебательной системе.

Линейные электрические цепи представляют собой частный случай электрических цепей и характеризуются тем, что вольт-амперные характеристики всех элементов цепи линейны, а состояние самой цепи описывается с помощью линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. В линейной электрической цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические колебания энергии между магнитным полем катушки. В линейной электрической цепи возможен резонанс токов и резонанс напряжений.

Резонанс в цепи с последовательным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса напряжений. Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов. Идеальных линейных элементов в природе не существует. В действительности параметры всех элементов в той или иной мере зависят от их физического состояния, т.е. от тока, напряжения, температуры.

Если эта зависимость выражена незначительно, то ею при расчете цепей пренебрегают и элементы считают линейными. Однако существует обширный класс элементов электрических цепей, параметры которых существенно зависят от тока и напряжения и эту зависимость необходимо учитывать при расчете электрических цепей. Такие элементы получили название нелинейных, так как их физические характеристики не могут быть описаны уравнением прямой линии. Электрическая цепь называется нелинейной, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент. Метод расчета для каждой нелинейной цепи постоянного тока устанавливается индивидуально.

Если в контуре с нелинейным конденсатором происходят вынужденные колебания, то под их влиянием модулируется емкость нелинейного конденсатора. Частота и амплитуда модуляции емкости определяются частотой и амплитудой вынужденных колебаний. Параметрическое возбуждение колебаний возникает, если p » 2w₀ и глубина модуляции емкости имеет достаточно большую величину.

Явление электрического резонанса широко используется при осуществлении радиосвязи. Радиоволны от различных передающих станций возбуждают в антенне радиоприемника переменные токи различных частот, так как каждая передающая радиостанция работает на своей частоте. С антенной индуктивно связан колебательный контур. Вследствие электромагнитной индукции в контурной катушке возникают переменные ЭДС соответствующих частот и вынужденные колебания силы тока тех же частот. На явлении резонанса основана вся радиосвязь.