Курсовая работа (т): Резонансные явления в линейных и нелинейных электрических цепях и их использование в цепях

Рис.7. Частотные характеристики

Практическое применение резонанс напряжений находит в области радиотехники и техники связи. В электроэнергетике явление резонанса напряжений из-за сопутствующих ему перенапряжений может привести к нежелательным последствиям. Например, при подключении к генератору или трансформатору кабельной линии, не замкнутой на приемном конце на нагрузку (в режиме холостого хода), вся цепь может оказаться в резонансом режиме, при этом напряжения на отдельных участках цепи могут появиться высокие напряжения.

2.2.2 Резонанс токов

Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов. Простейшая схема такой цепи показана на рис. 8.

Рис.8. Схема цепи с резонансом токов

Комплексная входная проводимость схемы:

(2.29)

Условие резонанса токов:

или(2.30)

, (2.31)

откуда резонансная (собственная) частота:

(2.32)

Из полученного равенства следует, что резонансного режима в цепи можно достичь изменением параметров элементов L и C или частоты источника w [2, 6].

В резонансном режиме полная проводимость схемы равна активной проводимости и имеет минимальное значение:

= G, (2.33)

а ток источника также минимален и совпадает по фазе с напряжением источника (j = 0): I =UY = UG.

Токи в ветвях с реактивными элементами IL=U(-jBL), IC =U(jBC) равны по модулю, противоположны по фазе и компенсируют друг друга, а ток в резисторе G равен току источника (I=IG=UG). Равные по модулю токи в реактивных элементах IL = IC могут значительно превосходить ток источника I при условии, что BL=BC>>G.

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 9.

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов G, L и C в технике получила название параллельного колебательного контура.

Рис.10. Векторная форма резонанса токов

Свойства такой цепи как колебательного контура характеризуют следующие параметры: резонансная частота (2.34), волновая проводимость (2.35) и добротность контура (2.36).

(2.34)

(2.35)

(2.37)

Рис.11. Графическое отображение резонансных характеристик

Резонанс токов находит широкое применение в области радиотехники и техники связи. В электроэнергетике компенсация реактивной мощности на промышленных предприятиях с помощью параллельного подключения конденсаторных батарей, по сути дела, представляет собой мероприятие, при котором также достигается резонанс токов [1, c.247].

2.2.3 Резонанс в разветвленной цепи

Возникновение резонанса токов возможно в разветвленной цепи с параллельным соединением индуктивного, емкостного и резистивного сопротивлений. При известном напряжении питания , значение общего тока в комплексной форме будет равно:

где(2.38)

 комплексная проводимость цепи и полная проводимость цепи;

(2.40)

- угол сдвига фаз между напряжением питания цепи и общим током.

Тогда действующее значение общего тока будет равно:

(2.41)

Рис.12. К определению резонанса токов в разветвленной цепи

Когда в параллельной цепи возникает резонансная частота , индуктивная b_L и емкостная b_C проводимости равны между собой, поэтому аргумент комплексной проводимости равен нулю. То есть ψ_u=ψ_i и полная проводимость цепи равна активной проводимости y=g, при этом общий токI_рез.=gU имеет минимальное значение.

Режим цепи с параллельными ветвями, при котором общий ток совпадает по фазе с напряжением, называется резонансом токов.

При резонансе токов действующие значение токов, которые протекают в индуктивности L и емкости C, одинаковые, а сдвиг фаз между ними равен 180^о, это связано с тем что ток в индуктивности отстает от общего напряжения на угол 90^о, а ток в емкости опережает напряжение на входе на угол 90^о.

Если мы при резонансе токов будем увеличивать индуктивную и емкостную проводимости в n раз, тогда токи в этих ветвях также возрастут в n раз, а вот общий ток при этом останется тем же I_рез.=gU.

Если активная проводимость g равна нулю, то и полная проводимость yцепи равна нулю. При этом ток источника также будет равен нулю, что в принципе эквивалентно разомкнутой цепи.

В параллельных ветвях помимо индуктивности L и емкости C может быть и активные элементы r_L и r_C, которые могут учитывать потери энергии в проводах. Условием возникновения резонанса тока в этом случае будет равенство проводимостей параллельных цепей:

(2.42)

2.3.4 Резонанс взаимной индукции

Определим резонансные частоты и частотные характеристики в цепи, изображенной на рис. 3.23.

В радиотехнике и в технике связи часто используют явление резонанса в индуктивно связанных колебательных контурах с большой добротностью. В связи с этим для упрощения расчета пренебрежем активным сопротивлением вторичного контура.

Собственные частоты контуров, при которых в них наступает резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны:

и (2.43)

Рис. 13. Индуктивно-связанные контуры

Имеем уравнения рассматриваемой цепи

(2.44)

Выражая  из второго уравнения через  и подставляя в первое уравнение, получаем

.(2.45)

Условием резонанса напряжений будет равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления, т.е. x_1Э = 0, откуда

(2.46)

Разделив на (ωL₁ωL₂) обе части этого выражения, получим

(2.47)

где  есть квадрат коэффициента связи, причем k²< 1.

Решая это уравнение относительно ω, найдем частоты  и , отвечающие резонансу напряжений, из выражения

(2.48)

где ω_рез равна либо , либо .

Если оба контура предварительно были настроены на одну частоту ω₁ = ω₂ = ω₀, то частоты  и  находятся из выражения , т.е. они оказываются равными

(2.49)

(2.50)

причем

При частотах  и  сопротивление цепи оказывается минимальным и равным r₁, а ток I₁достигает максимальных значений: I₁= U₁/r₁.

При ω = ω₀ имеем х_1Э =  и ток I₁=0. Это можно пояснить следующим образом: при частоте ω₀ имеет место резонанс во вторичном контуре х₂= ωL₂ - 1/( ωC₂)=0, и при условии r₂ = 0 получается z₂ = 0. Как видно из уравнения для второго контура, при конечном значении тока  ЭДС взаимной индукции  должна быть равна нулю, т.е. I₁=0. Ток  устанавливается таким, чтобы ЭДС взаимной индукции  со стороны второго контура уравновесила приложенное к первому контуру напряжение, что видно из первого уравнения при I₁ = 0. Этот случай по своему характеру аналогичен резонансу токов в контуре без потерь.

На рис. 14 представлена частотная характеристика I₁(ω) при U₁ = const, а также частотная характеристика x_1Э(ω).

Рис. 14. Частотные характеристики: I₁(ω) при U₁ = const и x_1Э(ω)

Полюсами функции x_1Э(ω) являются частоты ω = 0, ω = ω₀ и ω = . Ее нулями являются частоты ω =и ω =. В соответствии со сказанным в предыдущем разделе во всем диапазоне частот соблюдается условие dx_1Э/dω > 0 и полюсы и нули чередуются. Штриховыми линиями показаны частотные характеристики при r₂ ≠ 0. Таким образом, резонансная кривая I₁ = F₁(ω) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.

3. РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

.1 Понятие нелинейных электрических цепей

В теории линейных цепей предполагалось, что параметры всех элементов цепи являются постоянными величинами, не зависящих от токов и напряжений. Каждому идеальному элементу цепи приписывалось определенное значение его параметра: резистору - сопротивление R, катушке - индуктивность L, конденсатору - емкость C. Физические характеристики таких элементов (u=R×i - для резистора, ψ =L×i - для катушки, q=C×u - для конденсатора) описываются уравнением прямой линии y = a×x, поэтому такие элементы получили общее название линейных, а электрические цепи, состоящие из таких элементов, также называются линейными.

Идеальных линейных элементов в природе не существует. В действительности параметры всех элементов в той или иной мере зависят от их физического состояния, т.е. от тока, напряжения, температуры. Если эта зависимость выражена незначительно, то ею при расчете цепей пренебрегают и элементы считают линейными.

Однако существует обширный класс элементов электрических цепей, параметры которых существенно зависят от тока и напряжения и эту зависимость необходимо учитывать при расчете электрических цепей. Такие элементы получили название нелинейных, так как их физические характеристики не могут быть описаны уравнением прямой линии. Таким элементам нельзя придать определенное значение параметра сопротивления R, индуктивности L и емкости C. С целью отличия нелинейных элементов от линейных на электрических схемах на обозначение элемента наносятся дополнительный знак «клюшка» (рис. 12):

При расчете электрических цепей нелинейные элементы задаются их физическими характеристиками в исследуемом диапазоне значений физических параметров. Эти характеристики получили следующие названия: а)для нелинейного резистора u=f(i) или i=f(u) - вольт-амперная характеристика или сокращенно ВАХ; б)для нелинейной катушки y=f(i) или i=f(ψ) - вебер-амперная характеристика или сокращенно ВАХ; в)для нелинейного конденсатора q=f(u) или u=f(q) - кулон-вольтная характеристика или сокращенно КВХ [1, 4].

Рис.12. Нелинейная электрическая цепь

Электрическая цепь называется нелинейной, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент.

Состояние нелинейной цепи постоянного тока в установившемся режиме можно описать системой нелинейных алгебраических уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике не существует стандартных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, и, как следствие, на практике не существует общих методов расчета нелинейных цепей постоянного тока, таких, как метод контурных токов и метод узловых потенциалов для линейных цепей.

Одна из главных особенностей нелинейных цепей состоит в том, что к ним неприменим принцип наложения. Докажем это положение на примере расчета схемы рис. 13, в которой включены последовательно два источника ЭДС (Е₁, Е₂) и нелинейный резистор с заданной ВАХ I = kU₂.

Действительный ток в исходной схеме рис. 201а определится по заданному уравнению ВАХ:

Equation Section (Next)Equation Section (Next)(3.1)

Рис.13. Схемы нелинейных электрических цепей

Ток, рассчитанный по методу наложения (рис. 3б):

(3.2)

Сравнение правых частей равенств показывает, что .

Метод расчета для каждой нелинейной цепи постоянного тока устанавливается индивидуально. Выбор того или другого метода зависит от конкретных условий задачи: структуры схемы цепи, характера нелинейности ВАХ нелинейных элементов, требований к результату расчета и др. Возможно применение не одного, а нескольких методов, каждый из которых позволяет более четко определить одну из сторон процесса в цепи.

В нелинейных цепях могут возникать особые процессы, которые в принципе невозможны в линейных цепях. Многообразием таких процессов объясняется широкое применение устройств на нелинейных элементах в различных областях современной техники. Современные средства связи, радиоэлектроника, компьютерная техника основаны на использовании нелинейных свойств элементов электрических цепей [2, 7].

Перечислим некоторые явления, имеющие место в нелинейных цепях, которые находят практическое применение в электроэнергетике:

-       преобразование переменного тока в постоянный или выпрямление;

-       преобразование постоянного тока в переменный произвольной частоты или инвертирование;

-       преобразование переменного тока одной частоты в переменный ток другой частоты;

-       стабилизация режимных параметров (напряжения или тока) на некоторых участках цепи при изменении этих параметров на других участках;

-       трансформация постоянного тока и напряжения;

-       усиление сигналов по напряжению, по току или по мощности;