Материал: Система поддержки принятия инвестиционных решений малого предприятия. Баркалов С.А., Морозов В.П

где F – безрисковая бумага, Т – касательный портфель, v_0j – доля капитала j – го инвестора, вложенная в безрисковый актив. Поскольку рисковая часть проекта содержит касательный проект Т, то это значит, что доля вложений в произвольную рисковую бумагу по отношению к рисковой части портфеля не зависит от предпочтений инвестора, несмотря на различные доли v_0j. Таким образом теорема доказана.

Из теоремы 3 не следует, что инвесторы сформируют один и тот же портфель. Чем больше инвестор не хочет рисковать, тем ниже на луче [FT) расположен его оптимальный портфель. Поэтому портфели будут различными.

Таким образом, алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица, представляет собой выполнение следующей последовательности действий:

Шаг 1. Построение множества допустимых портфелей.

Шаг 2. Выделение эффективных портфелей на множестве допустимых.

Шаг 3. Построение кривых безразличия инвестора.

Шаг 4. Выбор кривой безразличия, соприкасающейся с эффективным множеством портфелей.

Шаг 5. Определение точки касания. Оптимальный портфель находится в точке касания. Основные параметры оптимального портфеля (доходность - риск) рассчитываются следующим образом.

Ожидаемая доходность будет определяться в соответствии с выражением

r_П= , (3.3)

где r_i – доход, приносимый i- й ЦБ.

Риск портфеля будет определяться в соответствии с выражением

, (3.4)

где - коэффициент корреляции между доходностями r_i и r_j, - риски i- й и j – й ЦБ.

Рассмотрим пример, демонстрирующий применение геометрического подхода для анализа инвестиционного портфеля.

Пусть рынок ЦБ представлен двумя активами А(0,1;0,1) и В(0,2;0,3) с коэффициентом корреляции взаимных доходностей =0,5. Функция полезности портфеля инвестора имеет вид: U( ,r)=0,6r – r² - .

Необходимо найти параметры оптимального инвестиционного портфеля.

Параметрические уравнения расчета доходности и риска, допустимых портфелей П= tA+(1-t)B, с учетом (3.3) и (3.4), будут иметь вид:

r_П= tr_A+(1- t) r_B=0,3-0,2t, (3.5)

. (3.6)

Точка касания линии уровня функции U( ,r) и множества допустимых портфелей является точкой размещения оптимального портфеля .

Касательная к множеству допустимых портфелей в точке П= tA+(1-t)B будет рассчитываться как

.

При этом , .

Следовательно, .

Линии уровня функции U( ,r)=0,6r – r² - описываются уравнением вида -(r-0,3)²- =C-0,09. Для определения наклона касательной к линии уровня продифференцируем данное уравнение почленно по . Имеем:

.

Следовательно, .

Если приравнять полученное выражение к выражению для расчета наклона к множеству допустимых портфелей, получим

.

Так как искомая линия уровня не только имеет наклон k, но и проходит через точку , то согласно (3.5) r=0,3-0,2t. Если подставить это выражение для r в предыдущую формулу, получим t=3/7. Следовательно, П=3А/7+4В/7, r_{П , .}

Алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица не позволяет определить структуру используемых финансовых ресурсов в портфеле (доли ЦБ, входящие в оптимальный портфель). Для этих целей целесообразно использовать аналитический метод [85].

3.2.2. Постановка задачи определения распределения финансовых ресурсов в оптимальном портфеле Марковица

Пусть v_i, i=1,…,n есть доля ЦБ А_i в произвольном портфеле П: П=v₁A₁+…+v_nA_n. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (3.3) и (3.4).

Необходимо выбрать доли v₁+…+v_n таким образом, чтобы значение функции U для результирующего портфеля П=( , ) было максимальным:

. (3.7)

Ограничениями в задаче выступают условия (3.6) и (3.7):

v₁+…+v_n=1, (3.8)

. (3.9)

Условие (3.8) показывает, что доли в сумме должны составлять единицу, а условие (3.9) говорит о том, что ЦБ нельзя брать взаймы и давать в долг. Применительно к безрисковой бумаге условие не учитывается.

Данная задача (3.7) – (3.9) определения условного экстремума решается известными методами математического анализа (например, методом множителей Лагранжа, сводящей задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум). Для получения конкретных результатов важно знать вид функции полезности. Наименее сложна задача определения портфеля с заданной доходностью и минимизацией риска. Доли риска в данном случае будут определяться в соответствии с выражением

(3.10)

где - вектор долей рисковых активов в портфеле; - матрица ковариаций случайных величин R_i, - ожидаемые доходности рисковых активов, r₀ – доходность безрискового актива, - вектор-столбец, все координаты которого равны единице.

Рассмотрим демонстрационный пример определения долей облигаций в инвестиционном портфеле.

Дано: сформирован оптимальный портфель, состоящий из облигаций трех эмитентов: Авангард, ВТБ, Газпром. Число временных интервалов наблюдения равно 3. Доходности облигаций в заданных временных интервалах наблюдения распределены следующим образом: Авангард: 0,175; 0,169; 0,178; ВТБ - 0,189; 0,195; 0,197; Газпром - 0,167; 0,171; 0,163.

Найти: доли облигаций в портфеле.

Решение. Среднее значение доходностей облигаций найдем по формуле (3.3):

,

,

.

Получим вектор средних доходностей:

Матрица ковариаций определяется следующим образом:

,

Аналогично вычисляем остальные значения. Получаем:

Обратная матрица к матрице ковариаций равна:

Доли облигаций в портфеле найдем по формуле (3.10). Получим:

Общая доходность портфеля, рассчитываемая по формуле (3.3), составит:

.

3.2.3. Обобщенный алгоритм реализации модели Марковица

Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица представлена на рис. 3.5 [80].

Блоки 1, 10 реализуют начало и конец алгоритма.

Блок 2 используется для ввода ряда исходных данных: типа облигаций; временных интервалов наблюдений; доходности облигаций к погашению.

В блоке 3 реализован расчет математического ожидания доходностей облигаций. Расчет ведется по формуле

, (3.11)

где r_it – эффективная доходность i-й облигации в период времени t;

t – номер периода диапазона накопления информации; T – длительность периода накопления информации.

Блок 4 обеспечивает проверку условия определения математического ожидания доходностей для всех типов облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 5. В противном случае управление передается в блок 3.

Рис. 3.5. Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица

Блок 5 рассчитывает матрицу ковариаций доходностей облигаций.

Ковариация между эффективными доходностями i-й и j-й облигаций (_ij) определяется по формуле

, (3.12)

где r_it и r_jt – эффективные доходности, соответственно, i-й и j-й облигации в период времени t, %; r_i и r_j – соответственно, математические ожидания эффективных доходностей i-й и j-й облигации.

В блоке 6 проверяется условие перебора всех пар облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 7. В противном случае управление передается в блок 5.

В блоке 7 определяется обратная ковариационная матрица.

В блоке 8 реализовано определение долей облигаций в портфеле по формуле

(3.13)

где - вектор долей облигаций в портфеле; - обратная ковариационная матрица; e - единичный вектор; - транспонированный единичный вектор.

Кроме того, в данном блоке определяется доходность портфеля по формуле

, (3.14)

где - вектор математических ожиданий доходностей облигаций;

- вектор долей облигаций в портфеле;

N - количество облигаций в портфеле;

mp - доходность портфеля.

Блок 9 обеспечивает вывод результирующей информации.