Материал: Система поддержки принятия инвестиционных решений малого предприятия. Баркалов С.А., Морозов В.П

3.2.4. Одноиндексная модель Шарпа

Одноиндексная модель Шарпа находит широкое практическое применение среди инвесторов, управляющих портфелями ценных бумаг [87].

В отличие от модели Марковица, в ней не требуется выполнение сложной процедуры определения взаимной ковариации (и корреляции) выбранной ценной бумаги (ЦБ) со всеми остальными ЦБ. Достаточно определить, как каждая ЦБ соотносится с фондовым индексом (RTSI, RBCC и др.). Поэтому простота проведения инженерных расчетов является одним из безусловных достоинств данной модели [94]. В отличие от мультииндексной модели Марковица, модель Шарпа называют диагональной или одноиндексной моделью.

В рамках модели Шарпа доходность портфеля ЦБ представляется как среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом - риска. Она определяется в соответствии с выражением [70,137]:

, (3.15)

где - безрисковая доходность; - ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск портфеля ценных бумаг находится с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле [137]:

, (3.16)

где - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом; - - риск и остаточный риск i - й ценной бумаги; W_i – вес i - й ценной бумаги.

Математическая постановка решаемой задачи имеет вид

(3.17)

При реализации модели Шарпа использованы следующие ограничения и формулы.

1. В качестве безрисковой ставки доходности принята доходность государственных ценных бумаг (облигаций внутреннего государственного займа).

2. В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются фондовые индексы. Среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за период t рассчитывается в соответствии с выражением [70]

, (3.18)

где - доходность рынка ценных бумаг в период t; - доходность i - й ценной бумаги за период t.

3. - риск ценной бумаги, рассчитывается по формуле [70]

, (3.19)

где - -риск i - й ценной бумаги; - безрисковая доходность в период t; T - рассматриваемое количество периодов времени.

4. Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле [137]

. (3.20)

5. Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле [70]

. (3.21)

Обобщенный алгоритм реализации модели Шарпа представляет собой выполнение следующей последовательности действий [62]:

Шаг 1. Выбор М ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определение исторического промежутка в N шагов расчета, за который рассматриваются значения доходности для каждой ЦБ.

Шаг 2. Определение рыночных доходностей за рассматриваемый период времени по выбранному рыночному индексу.

Шаг 3. Определение величины дисперсии рыночного показателя , значений ковариаций доходностей каждой ЦБ с доходностью рыночного портфеля (выбранным фондовым индексом) и расчет величины .

Шаг 4. Вычисление ожидаемых доходностей каждой ЦБ , доходности рыночного портфеля и расчет параметра .

Шаг 5. Вычисление дисперсии случайных ошибок .

Шаг 6. Подстановка полученных значений в соответствующие уравнения. Определение весов ЦБ с учетом выбранного значения ожидаемой доходности инвестиционного портфеля.

Шаг 7. Построение границы эффективных портфелей и определение оптимального портфеля.

Рассмотрим пример оптимизации портфеля ценных бумаг на основе одноиндексной модели Шарпа.

В качестве исходных данных (табл. 3.1) для моделирования использованы еженедельные котировки акций шести компаний в течение определенного периода.

Таблица 3.1

Исходные данные о доходности ценных бумаг

Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок ввиду отсутствия данных из внешних источников. В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности

Рассчитанные характеристики ЦБ ( - риск, избыточная доходность и остаточный риск ) представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения основных характеристик ценных бумаг

При проведении расчетов учитывалось, что: требуемая доходность портфеля =4 %, допустимый риск портфеля =8 %, прогнозируемая безрисковая доходность =1 %, ожидаемая доходность фондового рынка =3,5 %.

При проведении оптимизации решалась прямая задача (обеспечение максимальной доходности при заданном уровне риска) и обратная (обеспечение минимального риска для требуемой доходности).

Модель Шарпа обладает одним существенным недостатком, который призвана парировать разработанная автором нейромодифированная одноиндексная модель Шарпа.

Результаты оптимизации структуры фондового портфеля применительно к акциям 6 типов, представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Результаты оптимизации портфеля на основе модели Шарпа