Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Потенциальная энергия в случае степеней свободы выражается в форме

.

Условия определенной положительности сведутся к условиям для коэффициентов жесткости, полностью аналогичным условиям для коэффициентов инерции.

1.4.3. Диссипативная функция

Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления , пропорциональные скорости точек , т.е.

,

где – постоянные коэффициенты сопротивления.

Обобщенная сила от сил сопротивления, согласно определению обобщенной силы, если использовать тождество Лагранжа

,

может быть выражена в форме

.

Здесь – диссипативная функция. Аналогично, через диссипативную функцию выразится как

.

Так же как и в случае системы с одной степенью свободы, для системы с двумя и любым конечным числом степеней свободы можно получить энергетическое соотношение

,

где – полная механическая энергия системы.

Таким образом, диссипативная функция в общем случае характеризует скорость убывания полной механической энергии вследствие действия линейных сил сопротивления.

Диссипативная функция по своей структуре аналогична кинетической энергии, только в нее вместо масс входят коэффициенты сопротивления .

Выполнив для разложение окрестности положения равновесия и отбросив члены третьего и более высокого порядков, так же как и для кинетической энергии, получим

. (62)

Постоянные величины , , называются приведенными коэффициентами сопротивления.

Квадратичная форма для , так же как и для кинетической энергии, по своей физической сущности является определенно-положительной; следовательно, ее коэффициенты удовлетворяют условиям

; ; .

Для системы с степенями свободы диссипативная функция выразится в форме

.

Приведенные коэффициенты сопротивления удовлетворяют условиям, которые полностью аналогичны условиям для коэффициентов инерции.

1.4.4. Дифференциальные уравнения собственных колебаний

Ели система, имеющая две степени свободы, движется только под действием потенциальных сил, то, учитывая формулы для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), имеем:

,

,

, , .

Подставляя эти значения в уравнение Лагранжа (56), получаем линейные дифференциальные уравнения малых собственных колебаний системы с двумя степенями свободы без сопротивления:

. (63)

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60) являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называют линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми.

Для системы с любым конечным числом степеней свободы дифференциальные уравнения собственных колебаний выразятся в следующей форме:

1.4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот

Решение системы уравнений (63) следует искать в форме , . Но в случае малых колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия все значения , в чем нетрудно убедиться, чисто мнимые значения и, следовательно, решение можно искать в виде

, , (64)

где постоянная - круговая частота колебаний. Как доказано ниже, она является действительной величиной. Постоянные , , и подлежат определению. Величины и называются амплитудами, а - начальной фазой. Вычислим производные:

, .

Подставим их значения и из (64) в систему уравнений (63). Получим тождества, в которых постоянные коэффициенты при должны быть равны нулю. Это дает систему двух однородных линейных уравнений для определения амплитуд и :

. (65)

Однородная линейная система уравнений имеет решения, отличные от нуля, если определитель системы равен нулю:

.

Раскрывая определитель, получаем уравнение частот:

. (66)

Только для значений , удовлетворяющих уравнению частот, существуют отличные от нуля значения , и, следовательно, , .

Уравнение частот как биквадратное уравнение в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), эти условия необходимы и достаточны для того , чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты и выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным.

Отбрасывая отрицательные значения частот, как не дающие новых решений и не имеющие физического значения, получаем две частоты. Меньшую из частот обозначаем , большую – . Частоты и являются частотами собственных колебаний системы. Они не зависят от начальных условий и полностью определяется значениями коэффициентов инерции и жесткости.

Исследуем уравнение частот. Рассмотрим функцию

, (67)

где . Уравнение (67) является уравнением параболы. Корням уравнения частот и соответствуют точки пересечения параболой оси абсцисс и .

Так как квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий определенно-положительны, то коэффициенты инерции и жесткости удовлетворяют условиям (59) и (61), т.е.

, , ; (59')

, , . (61')

Предположим для определения, что . Для построения параболы зададим ряд значений и определим из (67) соответствующие значения , учитывая условия (59') и (61'). Имеем:

, ;

, ;

; .

Расположив в (67) слагаемые по убывающим степеням , получим

. (67')

Так как коэффициент при положителен, то , когда . По полученным данным строим график параболы (рис. 17). Из графика параболы следует, что корни уравнения частот и располагаются в интервале

,

т.е. парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках и , так как значения и отрицательны в точках и , что и требовалось доказать.