Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

1.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результат для общего случая)

Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы получим из уравнений Лагранжа:

₁, . (56)

Каждая из обобщенных сил в общем случае состоит из трех сил: обобщенной силы от потенциальных сил , сил сопротивления , возмущающих сил .

Для рассмотрения малых колебаний системы в окрестности устойчивого положения равновесия необходимо получить разложения в ряды кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции.

1.4.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

.

Для системы с двумя степенями свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные, неосвобождающие связи, радиус-вектор каждой точки является функцией только обобщенных координат , . При движении системы обобщенные координаты и зависят от времени. Следовательно, производная по времени от радиус вектора

.

Подставляя ее в выражение кинетической энергии, получаем

,

где введены обозначения

, ,

.

Величины , , зависят только от и , как и , инее зависят от и . Разложим каждую из этих функций в ряд по степеням и в окрестности положения равновесия, приняв в положении равновесия . Имеем для

.

Индекс 0 здесь и далее указывает, что эти величины следует вычислять при . Аналогичные разложения получаются для , . Введем обозначения

; ; .

Постоянные величины , , называются коэффициентами инерции системы. Отбрасывая члены третьего и более высокого порядков по отношению к , , , , получаем следующее выражение для кинетической энергии

. (57)

Однородной квадратичной формой двух переменных и называют выражения вида

,

где , , – постоянные величины, не все равные нулю.

Квадратичная форма, которая принимает только положительные значения в области изменения переменных и и равна нулю только при нулевых значениях переменных, называется определенно-положительной.

Если пренебречь слагаемыми третьего и более высокого порядка, кинетическая энергия системы в окрестности положения равновесия будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей , . Так как кинетическая энергия всегда положительна и равна нулю только при нулевых значениях обобщенных скоростей, то выражается вблизи положения равновесия системы определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей.

Для того что бы квадратичная форма была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли условиям

; ; . (58)

Получим эти условия. Пусть – определенно-положительная квадратичная форма. Тогда, если при , , то . Аналогично из условия, что при , , следует что . Это необходимые условия определенной положительности квадратичной формы, но они недостаточны, так как может стать отрицательной вследствие того, что имеет достаточное по величине отрицательное значение.

Преобразуем квадратичную форму, введя переменную , если в рассматриваемой области не равна нулю. В противном случае можно поменять местами и . Квадратичная форма примет вид

.

Для того чтобы была всюду положительной в области рассматриваемых значений , необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение

не имело действительных корней, т.е. парабола

,

для которой и , целиком располагалась над осью абсцисс.

Для этого дискриминант квадратного уравнения должен быть отрицательным, т.е.

или .

Условия (58) доказаны.

Так как кинетическая энергия в окрестности положения равновесия представляется определенно-положительной квадратичной формулой, то ее коэффициенты должны удовлетворять условиям (58); поэтому для , , имеем

; ; . (59)

Для системы с любым конечным числом степеней свободны кинетическая энергия в окрестности положения равновесия выражается однородной квадратичной формой

.

Условия ее определенной положительности таковы:

, ,

, … , .

1.4.2. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы зависит от обобщенных координат , , если силовое поле и связи стационарны. Разлагая потенциальную энергию в окрестности положения равновесия в ряд по степеням и , имеем

.

Потенциальную энергию в положении равновесия принимаем равной нулю; величины , как значения обобщенных сил в положении равновесия системы. Окончательно, удерживая члены второго порядка и пренебрегая слагаемыми третьего и более высокого порядков, потенциальную энергию выразим в форме

. (60)

Постоянные величины

, ,

называются коэффициентами жесткости.

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат и . В том случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т.е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения , , как вторые производные от по переменным и при минимуме должны удовлетворять условиям

; ; . (61)

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для . Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при , т.е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы.