Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

К

Рис. 17

олебание системы с частотой, квадрат которой и обобщенная координата , получается в том случае, если другая обобщенная координата , т.е. при дополнительном наложении связи на систему. Аналогично, колебание с квадратом частоты и обобщенной координатой получается при , что тоже связано с дополнительными наложением связи. Частоты и называются парциальными частотами системы. Из проведенного анализа следует, что они заключены между главными частотами, причем наименьшая из них больше первой главной частоты. Так влияет на частоты дополнительное наложение связей, при котором не изменяются коэффициенты инерции и жесткости системы.

Случай, когда , возможен при

,

При этом . Парабола касается оси .

В случае равных частот каждое из уравнений системы (65) является тождеством, справедливым при любых значениях , . Системы дифференциальных уравнений (63) распадается на два независимых уравнения: одно – для , другое – для . Их решения имеют вид

; .

Постоянные , , , определяются из начальных условий

; ; ; ; .

Система в этом случае совершает гармонические колебания. Каждая из обобщенных координат и изменяется по синусоидальному закону независимо друг от друга с одинаковыми частотами.

В случае разных частот каждой из них соответствуют определенные значения , , , , – для частоты , , , – для частоты . В соответствии с этим получим по два значения обобщенных координат и :

(68)

, составляют главное колебание для частоты , а , – для частоты . Каждое из главных колебаний является гармоническим для обеих обобщенных координат.

Система однородных линейных уравнений (65) дает возможность определить только отношение амплитуд. Для первого и второго главных колебаний соответственно получаем

. (69)

Отношения амплитуд в главных колебаниях и называют коэффициентами формы. Из (68) следует, что коэффициенты формы равны отношениям обобщенных координат в главных колебаниях:

; . (70)

Коэффициенты формы и характеризуют формы главных колебаний. Они могут быть положительными и отрицательными. Если, например, , то и имеют одинаковые фазы; если , то их фазы отличаются на .

1.4.6. Главные координаты

Если за новые обобщенные координаты системы выбрать и , то главное колебание с частотой , будет характеризоваться только обобщенной координатой , а главнее колебание с частотой – координатой .

Обобщенные координаты, каждая из которых представляет только одно главное колебание, называются главными координатами системы. Произвольные обобщенные координаты через главные в соответствии с (71) должны выражаться их линейными комбинациями:

; . (72)

В случаях равных частот любые обобщенные координаты являются главными. Для главных координат система уравнений должна распадаться на два отдельных, независимых уравнения, как в случае равных частот..

Определив обобщенные координаты и , найдем главные координаты системы. Главные координаты можно также определить основываясь на рассмотрении преобразования кинетической и потенциальной энергии системы.

Для того чтобы система уравнений распалась на отдельные независимые уравнения, выражения потенциальной и кинетической энергии не должны содержать членов с произведениями переменных. Это можно положить в основу для отыскания главных координат. Действительно, пусть и – произвольные обобщенные координаты, а и – главные координаты.

Попытаемся получить равенства нулю членов с произведениями в разложениях кинетической и потенциальной энергий, приняв линейную зависимость между , и , , т.е.

; . (72')

Постоянные и включим в и , т.е. примем . Тогда неизвестные постоянные и можно определить из условий, что для главных координат

; , (73)

Т.е. . Сохраним для неизвестных постоянных и обозначения коэффициентов формы, так как в действительности они ими и являются.

Подставляя (72’) в выражения кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), получаем

(74)

Из сравнения (73) и (74), используя условия , , имеем

Общее решение системы уравнений (63), учитывая (70), можно выразить в форме

(71)

Четыре произвольные постоянные , , , определяются из начальных условий.

Итак, собственные линейные колебания системы с двумя степенями свободы состоят из суммы двух главных гармонических колебаний с частотами и .

(75)

А так же формулы связи новых и старых коэффициентов инерции и жесткости

(76)

Из (75) получаем

(77)

Эти соотношения позволяют построить квадратное уравнение, корнями которого являются и :

. (78)

Можно доказать, что корни этого уравнения вещественны.

Таким образом, коэффициента и можно определить двумя путями: как коэффициенты формы по формулам (69) или как корни квадратного уравнения (78).

Система уравнений малых колебаний (63) для главных координат , с учетом того что , распадается на два независимых уравнения:

; . (79)

Их решения имеют вид

; , (80)

где и – частоты главных колебаний. Они вычисляются по формулам

; . (81)

Используя (72’) и (80) для произвольных обобщенных координат и , можно получить выражения (71).

Частоты изменения главных координат совпадают с частотами главных колебаний, т.е.

; , (82)