Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Если ввести полную механическую энергию , то окончательно имеем энергетическое соотношение

. (22)

Это соотношение показывает, что диссипативная функция характеризует скорость убывания полной механической энергии системы вследствие действия сил линейного сопротивления. На убывание полной механической энергии указывает знак минус в (22). Диссипативная функция , согласно (16), является величиной положительной.

Разложим диссипативную функцию в ряд в окрестности положения равновесия системы. Для этого в соответствии с (16') следует разложить в ряд по степеням функцию в окрестности . Имеем

.

Подставляя это выражение в (16 ) и оставляя в нем только , получаем

, (23)

где введено обозначение . Положительная постоянная величина называется обобщенным коэффициентом сопротивления.

Дифференциальное уравнение малых собственных

движений при действии линейного сопротивления

Вблизи положения равновесия системы имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции:

; ; .

Подставляя их в уравнение Лагранжа

и учитывая, что

; ; ; ,

Интегрирование дифференциального уравнения движения

Дифференциальное уравнение (24) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в форме , где постоянная определяется из характеристического уравнения , которое получается после подстановки решения в дифференциальное уравнение.

Характеристическое уравнение имеет два корня:

. (25)

Могут представиться три случая: 1) - это случай малого сопротивления; 2) - это случай большого сопротивления; 3) - случай критического сопротивления. Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Затухающие колебания

Если , то величина под знаком квадратного корня в (25) отрицательна. Обозначим положительную величину . Тогда и из (25) получим следующие значения для корней характеристического уравнения:

.

Соответственно общее решение дифференциального уравнения

,

зависящее от двух произвольных постоянных, выразится в виде

, (26)

где , и , - произвольные постоянные.

Решение (26) можно также представить в другой, амплитудной форме:

, (27)

получаем следующее дифференциальное уравнение:

.

Это приближенное уравнение. При его получении отброшены все слагаемые второго и более высокого порядков.

Если разделить обе части уравнения на и ввести обозначения , , то после переноса всех членов уравнения в левую часть получим дифференциальное уравнение движения системы в окончательной форме:

. (24)

Постоянная является круговой частотой собственных колебаний системы без учета сопротивления. Величина называется коэффициентом затухания. Ее размерность такая же, как и у круговой частоты. Вместо иногда употребляют величину , которая называется постоянной времени затухания и имеет размерность времени.

где и - тоже произвольные постоянные.

Раскрывая синус суммы, имеем

.

Сравнивая это уравнение с (26), получаем формулы связи постоянных:

;

или

; ;

; . (28)

Постоянные , и соответственно , определяются из начальных условий , , .

Дифференцируя (26) по времени, имеем

. (29)

Используя выражение (26) для , а (29) – для при , получаем уравнение для определения и :

,

Из них

, .

Соответственно постоянные и через начальные условия выразятся в следующей форме:

, ,

, . (30)

Величина положительна. Она не является амплитудой. Начальная фаза может иметь значения в пределах от 0 до 2 .

Для выяснения изменения функции построим ее график, используя уравнение (27). Вид графика функции (рис. 7) можно выяснить с помощью построения графиков вспомогательных функций (кривая 1) и (кривая 2). Кривые 1 и 2 являются ограничивающими для , который изменяется между 1 и -1.

Т

Рис. 7

Из графика функции следует, что величины последовательных наибольших отклонений от положения равновесия уменьшаются с увеличением времени, стремясь к нулю при неограниченном возрастании времени. В соответствии с этим движение, определяемое уравнением (27) или (26), называют затухающими колебаниями.

Условным периодом затухающих колебаний (или периодом) называют период . Он является периодом прохождения системы через положения равновесия, так как функции и равны нулю одновременно. Круговой частотой является величина . Следовательно, период затухающих колебаний

. (31)

Период затухающих колебаний – величина постоянная, не зависящая от начальных условий. Он больше периода собственных колебаний при отсутствии сопротивления .

Из (31), разлагая в ряд по степеням с использованием бинома Ньютона, имеем

. (31 )

Для очень малых по сравнению с единицей можно считать , т.е. малое сопротивление не изменяет периода собственных колебаний системы. В более общем случае можно использовать приближенную формулу

. (31 )