Чтобы упростить расчет по формуле (10.62), в табл. 10.5 приведены
значения безразмерной температуры |
_кр1— в зависимости от показателя п и |
||||||||||
|
|
|
|
|
^кр “ ^1п |
|
|
|
|
|
|
безразмерной координаты |
для практических расчетов. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10.5 |
|
Значения безразмерной температуры |
Гкр ~1. в зависимости от показателя п |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
^кр ” ^1п |
|
|
|
|
|
|
|
и относительной координаты |
(см. формулу (10.62)) |
|
|||||||
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0 ,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
0,05 |
1,000 |
0,995 |
0,989 |
0,982 |
0,975 |
0,966 |
0,955 |
0,942 |
0,923 |
0,891 |
0 |
0,10 |
1,000 |
0,989 |
0,978 |
0,965 |
0,950 |
0,933 |
0,912 |
0,886 |
0,851 |
0,794 |
0 |
0,15 |
1,000 |
0,984 |
0,967 |
0,948 |
0,926 |
0,901 |
0,872 |
0,835 |
0,785 |
0,708 |
0 |
0,20 |
1,000 |
0,979 |
0,956 |
0,931 |
0,903 |
0,871 |
0,833 |
0,786 |
0,725 |
0,631 |
0 |
0,25 |
1,000 |
0,974 |
0,946 |
0,915 |
0,880 |
0,841 |
0,795 |
0,740 |
0,669 |
0,562 |
0 |
0,30 |
1,000 |
0,969 |
0,935 |
0,898 |
0,858 |
0,812 |
0,760 |
0,697 |
0,617 |
0,501 |
0 |
0,35 |
1,000 |
0,964 |
0,925 |
0,883 |
0,836 |
0,784 |
0,726 |
0,656 |
0,596 |
0,447 |
0 |
0,40 |
1,000 |
0,959 |
0,914 |
0,867 |
0,815 |
0,758 |
0,693 |
0,618 |
0,525 |
0,398 |
0 |
0,45 |
1,000 |
0,954 |
0,904 |
0,852 |
0,795 |
0,732 |
0,662 |
0,582 |
0,485 |
0,355 |
0 |
0,50 |
1,000 |
0,949 |
0,894 |
0,837 |
0,775 |
0,707 |
0,632 |
0,548 |
0,447 |
0,316 |
0 |
0,55 |
1,000 |
0,944 |
0,884 |
0,822 |
0,755 |
0,683 |
0,604 |
0,516 |
0,413 |
0,282 |
0 |
0,60 |
1,000 |
0,939 |
0,875 |
0,807 |
0,736 |
0,660 |
0,577 |
0,486 |
0,381 |
0,251 |
0 |
0,65 |
1,000 |
0,934 |
0,865 |
0,793 |
0,717 |
0,637 |
0,551 |
0,457 |
0,351 |
0,224 |
0 |
0,70 |
1,000 |
0,929 |
0,855 |
0,779 |
0,699 |
0,616 |
0,527 |
0,430 |
0,324 |
0,199 |
0 |
0,75 |
1,000 |
0,924 |
0,846 |
0,765 |
0,682 |
0,595 |
0,503 |
0,405 |
0,299 |
0,178 |
0 |
0,80 |
1,000 |
0,919 |
0,837 |
0,752 |
0,665 |
0,574 |
0,480 |
0,382 |
0,276 |
0,158 |
0 |
0,85 |
1,000 |
0,914 |
0,827 |
0,738 |
0,648 |
0,555 |
0,459 |
0,359 |
0,255 |
0,141 |
0 |
0,90 |
1,000 |
0,909 |
0,818 |
0,725 |
0,632 |
0,536 |
0,438 |
0,338 |
0,235. |
0,126 |
0 |
0,95 |
1,000 |
0,905 |
0,809 |
0,712 |
0,616 |
0,518 |
0,419 |
0,318 |
0,217 |
0,112 |
0 |
1,00 |
1,000 |
0,900 |
0,800 |
0,700 |
0,600 |
0,500 |
0,400 |
0,300 |
0,200 |
0,100 |
0 |
1,05 |
1,000 |
0,895 |
0,791 |
0,688 |
0,585 |
0,483 |
0,382 |
0,232 |
0,184 |
0,089 |
0 |
1,10 |
1,000 |
0,890 |
0,782 |
0,675 |
0,570 |
0,467 |
0,365 |
0,266 |
0,170 |
0,079 |
0 |
1,15 |
1,000 |
0,886 |
0,774 |
0,664 |
0,556 |
0,451 |
0,349 |
0,250 |
0,157 |
0,071 |
0 |
1,20 |
1,000 |
0,881 |
0,765 |
0,652 |
0,542 |
0,435 |
0,333 |
0,236 |
0,145 |
0,063 |
0 |
1,25 |
1,000 |
0,876 |
0,757 |
0,640 |
0,528 |
0,420 |
0,318 |
0,222 |
0,134 |
0,056 |
0 |
1,30 |
1,000 |
0,872 |
0,748 |
0,629 |
0,515 |
0,406 |
0,304 |
0,209 |
0,123 |
0,050 |
0 |
1,35 |
1,000 |
0,867 |
0,737 |
0,618 |
0,502 |
0,392 |
0,290 |
0,197 |
0,114 |
0,045 |
0 |
1,40 |
1,000 |
0,863 |
0,732 |
0,607 |
0,489 |
0,379 |
0,277 |
0,185 |
0,105 |
0,040 |
0 |
1,45 |
1,000 |
0,858 |
0,724 |
0,596 |
0,477 |
0,366 |
0,265 |
0,174 |
0,097 |
0,035 |
0 |
1,50 |
1,000 |
0,853 |
0,715 |
0,586 |
0,465 |
0,354 |
0,253 |
0,164 |
0,089 |
0,032 |
0 |
1,55 |
1,000 |
0,849 |
0,708 |
0,575 |
0,453 |
0,341 |
0,242 |
0,155 |
0,082 |
0,028 |
0 |
1,60 |
1,000 |
0,845 |
0,700 |
0,565 |
0,442 |
0,330 |
0,231 |
0,146 |
0,076 |
0,025 |
0 |
1,65 |
1,000 |
0,840 |
0,692 |
0,555 |
0,430 |
0,319 |
0,221 |
0,137 |
0,070 |
0,022 |
0 |
1,70 |
1,000 |
0,836 |
0,684 |
0,545 |
0,420 |
0,308 |
0,211 |
0,129 |
0,065 |
0,020 |
0 |
1,75 |
1,000 |
0,831 |
0,677 |
0,536 |
0,409 |
0,297 |
0,201 |
0,122 |
0,060 |
0,018 |
0 |
1,80 |
1,000 |
0,827 |
0,669 |
0,526 |
0,399 |
0,287 |
0,192 |
0,114 |
0,055 |
0,016 |
0 |
Окончание табл. 10.5
|
0 |
0,1 |
|
|
|
х / г |
|
|
|
|
|
1,85 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
||
1,000 |
0,823 |
0,662 |
0,517 |
0,389 |
0,277 |
0,184 |
0,108 |
0,051 |
0,014 |
0 |
|
1,90 |
1,000 |
0,818 |
0,654 |
0,508 |
0,379 |
0,268 |
0,175 |
0,101 |
0,047 |
0,013 |
0 |
1,95 |
1,000 |
0,814 |
0,647 |
0,499 |
0,369 |
0,259 |
0,167 |
0,096 |
0,043 |
0,011 |
0 |
2,00 |
1,000 |
0,810 |
0,640 |
0,490 |
0,360 |
0,250 |
0,160 |
0,090 |
0,040 |
0,010 |
0 |
2,1 |
1,000 |
0,801 |
0,626 |
0,473 |
0,342 |
0,233 |
0,146 |
0,080 |
0,034 |
0,008 |
0 |
2,2 |
1,000 |
0,793 |
0,612 |
0,456 |
0,325 |
0,218 |
0,133 |
0,071 |
0,029 |
0,006 |
0 |
2,3 |
1,000 |
0,785 |
0,598 |
0,440 |
0,309 |
0,203 |
0,121 |
0,063 |
0,025 |
0,005 |
0 |
2,4 |
1,000 |
0,776 |
0,585 |
0,425 |
0,294 |
0,189 |
0,111 |
0,056 |
0,021 |
0,004 |
0 |
2,5 |
1,000 |
0,768 |
0,572 |
0,410 |
0,279 |
0,177 |
0,101 |
0,049 |
0,018 |
0,003 |
0 |
2,6 |
1,000 |
0,760 |
0,560 |
0.396 |
0,265 |
0,165 |
0,092 |
0,044 |
0,015 |
0,002 |
0 |
2,7 |
1,000 |
0,752 |
0,547 |
0,382 |
0,252 |
0,154 |
0,084 |
0,039 |
0,013 |
0,002 |
0 |
2,8 |
1,000 |
0,744 |
0,535 |
0,368 |
0,239 |
0,144 |
0,077 |
0,034 |
0,011 |
0,002 |
0 |
2,9 |
1,000 |
0,736 |
0,524 |
0.355 |
0,227 |
0,134 |
0,070 |
0,030 |
0,009 |
0,001 |
0 |
3,0 |
1,000 |
0,729 |
0,512 |
0,343 |
0,216 |
0,125 |
0,064 |
0,027 |
0,008 |
0,001 |
0 |
3,2 |
1,000 |
0,714 |
0,490 |
0,319 |
0,195 |
0,109 |
0,053 |
0,021 |
0,006 |
0,001 |
0 |
3,4 |
1,000 |
0,699 |
0,468 |
0,297 |
0,176 |
0,095 |
0,044 |
0,017 |
0,004 |
0,000 |
0 |
3,6 |
1,000 |
0,684 |
0,448 |
0,277 |
0,159 |
0,082 |
0,037 |
0,013 |
0,003 |
0,000 |
0 |
3,8 |
1,000 |
0,670 |
0,428 |
0,258 |
0,144 |
0,072 |
0,031 |
0.010 |
0,002 |
0,000 |
0 |
4,0 |
1,000 |
0,656 |
0,410 |
0,240 |
0,130 |
0,062 |
0,026 |
0,008 |
0,002 |
0,000 |
0 |
4,2 |
1,000 |
0,642 |
0,392 |
0,224 |
0,117 |
0,054 |
0,021 |
0,006 |
0,001 |
0,000 |
0 |
4,4 |
1,000 |
0,629 |
0,375 |
0,208 |
0,106 |
0,047 |
0,018 |
0,005 |
0,001 |
0,000 |
0 |
4,6 |
1,000 |
0,616 |
0,358 |
0,194 |
0,095 |
0,041 |
0,015 |
0,004 |
0,001 |
0,000 |
0 |
4,8 |
1,000 |
0,603 |
0,343 |
0,180 |
0,086 |
0,036 |
0,012 |
0,003 |
0,000 |
0,000 |
0 |
5.0 |
1,000 |
0,590 |
0,328 |
0,168 |
0,078 |
0,031 |
0,010 |
0,002 |
0,000 |
0,000 |
0 |
5,5 |
1,000 |
0,560 |
0,293 |
0,141 |
0,060 |
0,022 |
0,006 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0 |
6,0 |
1,000 |
0,531 |
0,262 |
0,118 |
0,047 |
0,016 |
0,004 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0 |
6,5 |
1,000 |
0,504 |
0,234 |
0,098 |
0,036 |
0,011 |
0,003 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
7,0 |
1,000 |
0,478 |
0,210 |
0,082 |
0,028 |
0,008 |
0,002 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
7,5 |
1,000 |
0,453 |
0,188 |
0,069 |
0,022 |
0,005 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
8,0 |
1,000 |
0,430 |
0,168 |
0,058 |
0,017 |
0,004 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
8,5 |
1,000 |
0,408 |
0,150 |
0,048 |
0,013 |
0,003 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
9,0 |
1,000 |
0,387 |
0,134 |
0,040 |
0,010 |
0,002 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
9,5 |
1,000 |
0,367 |
0,120 |
0,034 |
0,008 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
10,0 |
1,000 |
0,348 |
0,107 |
0,028 |
0,006 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0 |
|
Закон |
затвердевания. |
Для нахождения закона |
продвижения |
фронта |
||||||
затвердевания в плоской отливке составим необходимое дифференциальное уравнение теплового баланса.
Количество теплоты dQ, теряемой отливкой с поверхности F\ за время dr, должно быть равно количеству аккумулированной теплоты dQaKK, выделяющейся в затвердевшей корке вследствие понижения ее температуры, и
количеству теплоты dQKpкристаллизации: |
|
dQ = dQaKK+ dQKp. |
(10.63) |
Найдем каждое из перечисленных количеств теплоты. Величина dQ определяется с помощью закона теплопроводности Фурье (формула (10.16)). Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо найти градиент
температуры на поверхности отливки. Для этого продифференцируем уравнение температурной кривой (формула (10.58)) поу:
О0МУ
Для поверхности тела у = £(см. рис. 10.9). Отсюда следует, что
^кр_ |
(10.65) |
|
Ш.~" ( |
||
|
||
-tu |
( 10.66) |
|
/у/г = Л ,/7 ^ -^ /у /г, |
где Х\ -теплопроводность затвердевшего тела, ккалч°С.
Элементарное количество аккумулированной теплоты dQaKK находится путем дифференцирования выражения для ()жк. Полное количество аккумулированной теплоты QaKKв джоулях может быть определено по средней
температуре затвердевшей корки: |
|
|
QQKK = УУ\С\ (tKp —tap), |
(10.67) |
|
где V - объем затвердевшей корки, м3; у\ - |
удельный вес материала корки, |
|
кг/м3; С| - удельная теплоемкость материала корки, ккал/(кг °С); |
tcp - средняя |
|
по объему температура в момент г, °С. |
|
|
Для плоской отливки |
|
|
V = F\£. |
|
(10.68) |
Средняя по объему корки температура может быть найдена путем |
||
интегрирования уравнения температурной кривой: |
|
|
/«ф-/ср=■* г |
1 |
(10.69) |
)dVx |
|
|
где dV1- элементарный объем затвердевшей корки, обладающий температурой /.
Для плоской отливки величина dVx= F\dy.
Подставляя в предыдущее выражение значение соответствующих величин,находим
тI ,,/1+1 h
|
_ .0 |
*кр ~ ^1н К |
In |
I |
\ |
(10.70) |
^кр *ср |
|
J o - _ L ( , |
||||
|
(/7+ 1)?" |
|
/7+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\F^dy |
|
|
|
|
Здесь переменной величиной являлась координата у. Интегрирование производилось в пределах толщины затвердевшей корки. Найденная разность температуры /кр - tcp представляет собой среднее понижение температуры корки.
Подставляя эту разность температуры в выражение количества аккумулированной теплоты, будем иметь
На рис. 10.9 количество теплоты QaKK определяется площадью, заключенной между горизонтальной прямой, которая отвечает температуре Гкр затвердевания, и параболой /7-го порядка, которая соответствует распределению температуры в сечении корки для момента г. Чтобы определить элементарное количество dQaкк, надо продифференцировать полученную формулу (10.71). Найденная таким образом величина dQmK будет равна изменению количества теплоты Оакк за время d г. Это изменение связано с перемещением фронта затвердевания на величину dÇ. Формула в правой части содержит две переменные величины - £ и /jn. Чтобы выполнить операцию дифференцирования, необходимо одну из указанных величин выразить через другую. Это можно сделать на основе геометрических соображений.
Действительно, касательная на поверхности отливки к температурной кривой всегда проходит через направляющую точку Н (см. рис. 10.9). Расстояние от поверхности отливки до направляющей точки известно, оно
равно —L. Продолжив касательную до пересечения с горизонталью, которая
соответствует температуре /кр, получим подобные треугольники CDB и СЕН. Из этих треугольников находят необходимые связи между переменными.
Для определения величины подкасательной CD воспользуемся выражением (10.65). Из рис. 10.9 видно, что угол наклона касательной равен со. Угол (р= 180 - со, следовательно,
dt' |
|
|
|
(10.72) |
Эу), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из треугольника DCB находим |
|
|
|
|
tg(p = |
|
|
|
(10.73) |
Из двух последних равенств следует, что |
|
|
|
|
CD = Ç-. |
|
|
|
(10.74) |
п |
|
|
|
|
Теперь молено найти связь между величинами £ и /|П. Из подобных |
||||
треугольников CDS и СЕН получается |
|
|
|
|
BD = НЕ или ^кр |
(ill |
'кр-'с |
(10.75) |
|
DC ЕС |
£ |
M |
L |
|
|
п |
п |
а. |
|