Из них |
первое, включающее величину (5 - |
<%), имеет |
в знаменателе |
||||
критерий |
Bi, |
а второе, |
включающее разность (82 - |
&2) не |
содержит его. |
||
Поскольку |
Bi |
« |
1, |
то первое значительно |
по |
абсолютной величине |
|
превосходит второе слагаемое, им возможно пренебречь по сравнению с первым. Так как при B i « 1 направляющая точка Н (см. рис. 10.7-10.9) стремится в бесконечность, перепад температуры в сечении затвердевшей корки отливки обращается в нуль, и поэтому температурная кривая при любом показателе п практически не отличается от горизонтальной прямой. По этой причине в формуле (10.102) не содержится показателя п.
Из выражения (10.102) следует, что толщина затвердевшей корки (при В /« 1 ) пропорциональна времени в первой степени (линейная зависимость).
Критерий линейной скорости затвердевания для относительно малой интенсивности теплообмена определяется путем дифференцирования
выражения (10.102): |
|
|
|
|
_ dS |
_ Bix |
|
(10.104) |
|
dFo |
L |
|
||
|
|
|||
Линейная скорость затвердевания |
|
|
|
|
dÇ |
Bix tf]|('кр-'с) |
(10.105) |
||
dr X x |
L |
Y\P\ |
||
|
||||
Как видим, при Bi\ « 1 линейная скорость затвердевания плоской отливки является величиной постоянной (не зависящей ни от толщины затвердевшей корки, ни от времени). Скорость оказывается прямо пропорциональной интенсивности теплообмена (критерию Bi или коэффициенту теплоотдачи а{).
Средняя интенсивность теплообмена (/?/= 1)
Из общего решения уравнения (10.85) можно получить упрощенную формулу применительно к средней интенсивности теплообмена. Для этого надо воспользоваться не одним, а двумя первыми слагаемыми разложения
логарифма в ряд. По-прежнему, будем считать, что величина - —
п
пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Тогда логарифм можно будет представить в виде
+ SBL1 |
|
(10.106) |
In |
|
|
1+ S2Bi] |
|
|
Подстановка выражения (10.106) в формулу (10.85) дает |
||
Fo- FO2= — (<5 |
)+ ----- !---- (5 - S2У +— (b +— )(<52 - 5,2)- |
|
2 Bi |
2/ 2«(/7+ 1)V |
27 2n{ n + \JK |
или в виде с помощью критериев подобия:
|
х/Х, |
|
'кр-'с |
:1 — |
(ЮЛ 14) |
1 + - |
|
|
|
SBL |
|
Определив из выражения (10.85) толщину затвердевшей корки, нетрудно найти связь между температурой t, координатой * и временем г.
Обобщенная зависимость, связывающая параметры /, х и г, может быть получена при решении уравнений (10.85), (10.113). При этом необходимо исключать 8. Однако решить общее уравнение (10.85) относительно 8 затруднительно.
Соответствующую зависимость между t, х и г легко найти лишь для
определенных частных условий теплообмена (Bi » t , Æ/ « 1, Bi « |
1). |
|||||
При Bi » 1 формула (10.113) приобретает вид |
|
|
|
|||
|
|
|
V' |
|
|
(10.115) |
|
/ - 4 |
, - 0 - h |
- l + V |
|
|
|
|
|
V |
ь ) |
|
|
|
Из выражения (10.115) и формулы (10.91) находим |
|
|
||||
'= - ( '* -О - 1— |
|
, |
+'кр |
(10.116) |
||
|
|
2и{я+])а!_(г_ } |
|
|
||
|
|
Vi(n+l) +l |
- |
|
|
|
или в критериях подобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
.t |
|
|
|
|
t ~ î c |
|
X . |
|
|
(ЮЛ 17) |
|
= 1- |
1— j--------------------- ------- |
|
|
|||
'кр _/с |
^ |
( /7 +1)+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (10.113), (10.116) и (10.117) справедливы для х < £(в пределах толщины затвердевшей корки).
Для относительно малой интенсивности теплообмена (Æ/'i«l) температура в любой точке в течение всей третьей стадии процесса (затвердевания металла) сохраняет постоянное значение, равное гкр (t = tKp).
Формула (10.113) определяет температуру t в виде функции от толщины Ç [/=X<£)L а формула (10.85)-толщину корки Çв функции от времени г[^ = /г)].
По правилу дифференцирования сложной функции найдем
dt_^dt_dÇ_
(10.118)
дт 8Ç с/т
Производная от температуры по толщине затвердевшей корки определяется из выражения (10.113):