Курсовая работа: Теория математической обработки геодезических измерений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине

Теория математической обработки геодезических измерений ПЗ

Уравнивание геодезических сетей методом наименьших квадратов

Б.Н. Олзоев

Иркутск 2017 г

Содержание

Введение

1. Уравнивание группы направлений, исходящих из одного пункта, параметрическим способом

1.1 Сущность параметрического способа уравнивания

1.2 Выбор необходимых неизвестных (параметров)

2. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

2.1 Сущность коррелатного способа

3. Уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом

Введение

Актуальность темы курсового проекта связана с применением математических методов в обработке результатов геодезических измерений выполненных при построении типовых схем геодезических сетей. В проекте используется метод наименьших квадратов включающие два основных способа: параметрический и коррелатный. Основное условие метода заключается в выражении: [v2]=min и [pv2]=min

Поэтому целью курсового проекта является описание методики и практической реализации математической обработки типовых геодезически сетей.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

Рассмотреть уравнивание геодезических сетей параметрическим способом;

Охарактеризовать уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом;

Предоставить уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом;

В курсовом проекте даны следующие исходные данные: горизонтальные углы, превышения и длины сторон.

Методы обработки:

Параметрический - в этом способе выбирают такие независимые необходимые неизвестные- параметры, функциями которых могут быть выражены все измеренные величины. Эти равенства называются параметрическими уравнениями связи.

.Коррелатный способ основывается на том, что измеренные величины в геодезических сетях связаны между собой определенными математическими соотношениями.

1. Уравнивание группы направлений, исходящих из одного пункта, параметрическим способом

1.1 Сущность параметрического способа уравнивания

Уравнивание геодезических измерений - совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнивания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям)[2].

В практике геодезических измерений часто возникает задача совместной обработки (уравнивания) результатов измерения величин связанных функционально, причём форма связи известна заранее, а количество измерений больше количества неизвестных (n > t). Наличие избыточных измерений (r = n ? t) позволяет выполнить контроль произведённых измерений и определить их точность.

Получение вероятнейших значений неизвестных, оценка их точности и точности функций от них составляют задачу уравнивания.

Уравнивание параметрическим способом заключается в отыскании поправок t1, t2, …, tk к приближенным значениям искомых параметров у1, у2, …, уk, их уравненных значений у'1, у'2, …, у'k и х'1, х'2, …, х'п, а также в оценке точности результатов уравнивания.

Существует два основных способа уравнивания:

- параметрический

- коррелатный

В случае параметрического способа уравнивания решение приводит к непосредственному получению уравненных значений неизвестных - параметров.

Оба способа приводят к одинаковым результатам уравнивания, а выбор метода определяется объёмом вычислений при решении конкретной задачи[1]. Параметрический способ уравнивания геодезических сетей имеет широкое применение, так как одинаковая структура приведенных к линейному виду уравнений поправок дает возможность составлять универсальные программы уравнивания на ЭВМ триангуляции, трилатерации, линейно-угловых, комбинированных и других построений[4].

1.2 Выбор необходимых неизвестных (параметров)

Условия задания: между четырьмя направлениями измерены горизонтальные углы во всех комбинациях (см. рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема измерения горизонтальных углов

Исходные данные представлены в таблице 1. В результате уравнивания должны быть вычислены: уравненные значения всех углов; средняя квадратическая ошибка результата непосредственного измерения и средняя квадратическая ошибка самой ошибки.

Таблица 1 - Исходные данные

Параметры должны быть независимыми. Чтобы обеспечить это условие, необходимо выбрать максимальное количество независимых условных уравнений. Это означает, что нельзя выразить одно уравнение как линейную комбинацию остальных. Учитывая, что необходимых измерения - три, тогда составим три параметрических уравнений связи:

Число необходимых измерений k равно разнице между числом измеренных величин n и числом условных независимых уравнений r. Откуда следует

k = n - r = 6 - 3 = 3;

В связи с этим в качестве необходимых неизвестных (параметров) выбрано три угла (AOB, BOC, COD) из шести измеренных. Обозначим истинные значения Хi выбранных неизвестных через t1, t2, t3.

X1 = t1; X2 = t2; X3 = t3

Теперь, вводим неизвестные поправки vi - поправки в измеренное значение хi, чтобы получить уравненные значения хi + vi, таким образом, чтобы [vi] = 0.

Параметрические уравнения связи представлены следующим образом:

X1 = t1 X1 = 4742'17,5”

X2 = t2 X2 = 5318'32”

X3 = t3 X3 = 2654'48,5''

X4 = t1 + t2 X4 = 10100' 47''

X5 = t2 + t3 X5 = 8013' 18,5''

X6 = t1 + t2 + t3 X6 = 12755' 35''

Составление уравнений поправок.

Общий вид параметрического уравнения связи:

Xi = xi + vi = F(t1, t2, t3), или vi = F(t1, t2, t3) - xi (i = 1,2, …, 6)

Выполним условие:

[v2]=min и получим:

,

В левой части выражения (3) неизвестны только величины tk, поэтому его можно написать в виде некоторой функции F(t1…, tk):

F(t1…, tk) = min

Поскольку введенные необходимые неизвестные t свелись к задаче на абсолютный экстремум, то необходимо составить определенную систему уравнений:

.

из которой могут быть получены неизвестные (t1…, tk).

Однако если уравнения имеют нелинейный вид, то их решение практически невозможно. Поэтому для параметров tv находят приближенные значения t0v, причем с такой точностью, чтобы привести функцию (2) к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, в котором можно пренебречь членами разложения второго и высшего порядков.

Представим неизвестные tv в виде:

tv = t0v + v (v = 1, 2,… ,6),

где t0v - приближенные значения, v - неизвестные поправки к ним.

Подставим эти значения tv в равенство (2), получим:

vi = F(t01+1, …, t0k + k) - xi

Разлагая функцию Fi в ряд Тейлора, находим:

vi = F(t01,…, t0k)+01 +...+0 k + R - xi

где R - сумма всех членов разложения, кроме линейных. Приближенные значения должны быть найдены таким образом, чтобы можно было пренебречь R.

Введем обозначения:

0 =ai;…; 0 =aik ; F(t1…, tk) - xi = x0i - xi = li

Свободный член будет выражен следующим образом:

l4= (x01+x02)-x4 = 2”,5

l5= (x02+x03)-x5= 2”

l6= (x01+x02+x03)-x6=3”

Общий вид параметрического уравнения поправок:

v1 = 1

v2 =2

v3 =3

v4 =1+2 + 2”,5

v5 =2+3 + 2”

v6 =1+2+3+ 3”

По этим уравнениям составим таблицу коэффициентов уравнений поправок (таблица 2).

Таблица 2 - Коэффициенты уравнений поправок и нормальных уравнений

Система из трех нормальных уравнений имеет следующий вид:

[ai1· ai1]1+[ ai1· ai2 ]2+[ ai1· ai3]3+ [ai1·l1] = 0

[ai1· ai2]1+[ ai2·ai2]2+[ ai2· ai3]3+ [ai2·li] = 0

[ai1· ai3]1+[ ai3· ai2]2+[ ai3· ai3]3+ [ai3·li] = 0

Все вычисления контролируют по формулам:

[ai1· ai1]+[ ai1· ai2]+[ ai1· ai3]+ [ai1·li] = [ai1·s]

[ai1· ai2]+[ ai2· ai2]+[ ai2· ai3]+ [ai2·li] = [ai2·s]

[ai1·ai3]+[ai2·ai3]+[ ai3· ai3]+ [ai2·li] = [ai3·s]

[ai1·li] + [ai2·li] + [ai3·li] + [li·li] = [li·S]

[ai1· S] + [ai2·S] + [ai3·S] + [li·s] = [S·S]

Далее:

1) +3+2+1+5,5=11”,5 [ai1·s] = 11”,5

2) +2+4+2+7,5 =15”,5 [ai2·s] = 15”,5

3) +1+2+3+5=11” [ai3·s] = 11”

4) +5,5+7,5+5+19,25 =37”,25 [li·S] = 37”,25

5) +11,5+15,5+11+37,25=75”,25 [S·S] = 75”,25

Используя данные таблицы 2, получаем систему нормальных уравнений:

31+22+3+5,5 = 0

21+42+23+7,5 = 0

1+22+33+5 = 0

Решаем систему линейных уравнений матричным методом.

1=-0,875

2=-1,125

3=-0,625

Контроль решения нормальных уравнений:

3*(-0,875) + 2*(-1,125) + 1*(-0625) + 5,5 = 0

2*(-0,875) + 4*(-1,125) + 2*(-0,625) + 7,5 = 0

1*(-0,875) + 2*(-1,125) + 3*(-0,625) + 5,0 = 0

Вычисление поправок к результатам измерений

Поправки vi к измеренным значениям находят в таблицы 2 по формулам (10) и заканчивают составление этой таблицы.

Вычисление уравненных значений неизвестных (параметров)

Так как в качестве параметров выбраны измеренные величины, то рассматриваемые вычисления удобно совместить с вычислениями следующего этапа.

Вычисление уравненных значений измеренных величин

В таблице 4 вычисляют уравненные значения углов, используя поправки vi .

Заключительный контроль уравнивания

Он состоит в повторном вычислении уравненных значений углов по уравнениям связи (формула (2)).

Контрольные вычисления приводятся в таблице 4.

Таблица 3 - Уравненные значения углов

2. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

2.1 Сущность коррелатного способа

В геодезическом четырехугольнике измерены 8 горизонтальных углов (рисунок 6 и таблица 5).

Рисунок 6 - Схема измерений горизонтальных углов