Курсовая работа: Теория математической обработки геодезических измерений

Пункты A и B исходные, а пункты C и D определяемые. В геодезическом треугольнике требуется выполнить: уравнительные вычисления измеренных углов в геодезическом четырехугольнике коррелатным способом; провести оценку точности угловых измерений по результатам уравнивания; произвести оценку точности стороны AD.

Таблица 4 - Исходные данные

Ход решения

Перед математической обработкой геодезических измерении необходимо выполнить расчет числа независимых условных уравнений поправок r в геодезической сети, которое будет равно разнице между числом всех измерений n и числом необходимых измерений k.

r = n - k

Геодезический четырехугольник является замкнутой фигурой сети, тогда возникает условие фигур. При данном условии необходимо выполнить требование, чтобы сумма измеренных углов при всех вершинах фигуры после уравнивания была равна геометрической сумме углов данной фигуры.

При условии фигур, в геодезическом четырехугольнике возникает несколько совместно зависимых уравнений:

Их зависимость выражена следующим образом:

Нужно выбрать максимальное число независимых условных уравнений, где нельзя было бы выразить одно уравнение как линейную комбинацию других. Однако любые три комбинации уравнений независимы:

Таким образом, для геодезического четырехугольника достаточно иметь любые три уравнения фигуры.

Условия полюса возникают, когда в замкнутой фигуре треугольников, имеющих общую вершину (полюс), отношение связующих сторон треугольников было равно единице. В нашем примере, имеются по два треугольника, имеющих одну вершину и пересеченных диагональю четырехугольника, то в этом случае условие полюса называется боковым условием. Учитывая, что у четырехугольника имеется четыре вершины (полюса) и точка пересечения диагоналей, то возникает пять уравнений полюса. Составим для каждого полюса соответствующее уравнение:

Из уравнения полюса получаем справедливое равенство , из которого выразим каждую из функций:

Отсюда имеем одно независимое уравнение полюса из пяти приведенных выражений (17).

Таким образом, числа независимых условных уравнений поправок r равно 4 (три уравнения фигуры и одно уравнение полюса).

k = n - r = 8 - 4 = 4

Величину r еще называют числом избыточных измерений.

Составление условных уравнений и вычисление невязок

В геодезическом четырехугольнике рассмотрим три треугольника ABC, BCD, CDA. Как известно, сумма углов в плоском треугольнике равна 180°, следовательно, сумма измеренных углов в данном треугольнике будет отклоняться от 180°. Величина отклонения называется невязкой треугольника. Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Следовательно:

Затем составим условные уравнения поправок:

Далее, в нашем случае, запишем условное уравнение полюса, например для т. А:

Прологарифмируем обе стороны выражения (21) для приведения уравнения полюса к линейному виду:

Уравнение полюса преобразуем в уравнение поправок:

где I - изменение lg sin при измерении угла на 1 секунду.

Выражения (20) и (21) являются независимыми условными уравнениями.

Вывод условных уравнений поправок

Как указывалось, задачу нахождения минимума функции независимых уравнений [vv]=min решают способом Лагранжа, вводя вспомогательные множители независимых условных уравнений.

где n - число измерений, r - число избыточных измерений (число независимых условных уравнений).

Как видно, из системы уравнений (23) в правой части стоят нули, но для величин Xi получены результаты измерений x1,…, xn. Так как значения xi отягощены ошибками измерений, и при подстановке их в левые части условных уравнений (23), то в правых их частях получаются не нули, а невязки W.

Следовательно, уравнения (23) примут вид:

Чтобы невязки были равны нулю, необходимо их устранить за счет поправок v. В результате получаем:

Поскольку задачу на словный экстремум решают по правилам Лагранжа при помощи неопределенных множителей условных уравнений, тогда введем функцию Ф, зависящую от измеренных значений xn и неопределенных множителей . В результате получаем:

(22)

Искомые значения поправок v должны удовлетворять равенствам вида:

(i = 1, 2, …, n)

(j = 1, 2, …, r)

Далее составим систему уравнений:

В результате получаем суммы n + r уравнений и n(v)+r() неизвестных.

Если условные уравнения будут иметь нелинейный вид, то задача станет практически неразрешимой. Для этого, пренебрегая нелинейными членами разложения функций в ряд Тейлора, можно выражения (25) записать следующим образом:

Заменяя

и учитывая равенства (27), получим:

(j = 1, 2, …, r)

Это равенство (29) называют условным уравнением поправок.

В случае если переменная v связаны между собой уравнениями (25) и подставим их вместо функции в выражения (22). Для удобства вычислений множители Лагранжа обозначим так: . Множители k1, k2, …, kr - коррелаты.

Далее возьмем частные производные по аргументам vi и приравняем их нулю, получим: уравнивание коррелатный геодезический сеть

откуда общий вид уравнения поправок равноточных измерений:

где - коэффициенты условных уравнений поправок, - неопределенные множители (коррелаты). При соблюдении условия [vv]=min, получим уравнения коррелат.

Вычисление коэффициентов уравнивания фигур

Для вычисления коэффициентов уравнения фигур необходимо взять частные производные выражений (20) по аргументам . После чего получаем:

для 1-го уравнения:

для 2-го уравнения:

для 3-го уравнения:

Значения коэффициентов уравнения фигур записывают в таблицу 6 (столбцы ai, bi, ci).

Вычисление коэффициентов полюсного уравнения и его невязки W4

Таблица 5 - Вычисление невязки полюсного уравнения

Величина рассчитывается по формуле:

=

Невязка уравнения полюса вычисляется как разница между суммами правым и левым столбцом таблицы 6.

Вычисление коэффициентов уравнения полюса:

Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок

Таблица 7 - Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок

Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

Поскольку полученная система из четырех линейных уравнений не решаема, преобразуем ее на основе способа наименьших квадратов ([vv]=min) в четыре нормальных уравнения коррелат:

Таблица 8 - Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

Заполненные таблицы 8 осуществляется по данным таблицы 7. Значения величин, выделенные полужирным курсивом и другим типом шрифта, не записываются. В нашем случае, значения величин нужны для контрольных вычислений.

Решение нормальных уравнений коррелат

Решение нормальных уравнений коррелат было выполнено по схеме Гаусса, ход которого приведен в таблице 9.

Значения коррелат определены, начиная с 4-го коэффициента, по формулам (37). Значения дробных соотношений берутся из таблицы 9.

Таблица 9 - Решение нормальных уравнений коррелат по схеме Гаусса

Вычисление поправок в измеренные углы

Вычисление поправок осуществляется по уравниванию поправок и их значения записывают в таблице 10.

Таблица 10 - Вычисление поправок

Контроль осуществляется следующими равенствами:

=17,684

Кроме того, правильность вычислений можно проконтролировать, подставляя в условные уравнения соответствующие поправки и свободные члены. Контрольные вычисления приводятся в таблице 11.

Таблица 11 - Уравненные значения углов

Оценка точности по результатам уравнивания