Материал: Вариационные методы
Пример 5.1 Решение вариационной задачи с изопериметрическим условием
Составим систему уравнений
(−1− c1)2 + (0− c2 )2 = λ2 |
||||
(1− c1)2 + (0− c2 )2 = λ2 |
||||
1 |
λdx |
|||
−∫1 |
|
|||
|
|
|
= π |
|
|
|
|
||
λ2 − (x − c )2 |
||||
|
1 |
|
|
|
инайдем произвольные постоянные
имножитель Лагранжа
c1 = 0=с2 0λ =1
Окончательно решение:
x2 + y2 =12
Лабораторная работа № 7
Задача вариационного исчисления с ограничениями. Изопериметрическая задача
1.Решить задание лабораторной работы 2a при заданном изопериметрическом условии.
2.Вычислить значение функционала на этой экстремали. Сравнить результат с решением лабораторной работы 2a.
3.Оформить отчет.
Изопериметрические задачи для функционалов, зависящих от нескольких функций
Th 2. Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от нескольких функций
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J(y1, ..., yn ) = ∫F(x, y1, |
..., |
|
|
′ |
..., |
′ |
|
||||
|
yn , y1, |
yn )dx |
|
||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при условиях |
y |
(x )= A , |
y |
(x |
2 |
)= B , |
( |
= |
1, 2, ..., n |
), |
|
|
i |
1 |
i |
i |
|
i |
i |
|
|
||
и нескольких связях вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(y) = ∫Gj (x, yi , yi′)dx = lj |
,(j =1, |
2, |
..., |
|
k) |
|
|||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае необходимым условием экстремума будет:
∂ |
k |
|
|
|
d |
∂ |
k |
|
|
|
|||
|
F + ∑λ |
G |
|
− |
|
|
|
F + ∑λ |
G |
|
= 0, |
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
∂yi |
j=1 |
|
|
|
dx |
∂yi′ |
j=1 |
|
|
|
|||
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(i =1, 2, ..., n)
Задача на условный экстремум. Геодезические кривые
Задача отыскания среди всех кривых y1(x), N, yn(x), удовлетворяющих условиям
y1 |
(x1 )= y11; |
yn |
(x1)= yn1; |
(5.14) |
||||||||
y |
(x |
2 |
)= y |
;... |
y |
n |
(x |
2 |
)= y |
n2 |
; |
|
1 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
кривой доставляющей экстремум функционалу (целевой функционал)
x2 |
|
J(y1, y2,..., yn ) = ∫F(x, y1,..., yn , y1′,..., yn′ )dx → extr |
(5.15) |
x1 |
|
при выполнении условий (условия связи) |
|
g j (x, y1,..., yn )= 0, j =1,...,k |
(5.16) |
называется задачей на условный экстремума или задачей Лагранжа.
Геодезическими кривыми называются кривые минимальной длины, соединяющие заданные точки и лежащие на заданной поверхности.
Задача на условный экстремум. Геодезические кривые
Ограничимся для простоты случаем n=2, k=1 .
Th 3. Для того, чтобы кривые y(x) и z(x) доставляли экстремум функционалу
|
x2 |
|
|
|
J(y, |
z) = ∫F(x, |
y, |
z, y′, z′)dx , |
(5.17) |
|
x1 |
|
|
|
при выполнении условия |
|
|
||
g(y, |
z, y′, z′) = 0 , |
|
(5.18) |
|
необходимо, чтобы они доставляли экстремум функционалу |
|
|||
|
x2 |
|
y′,z′)+ λ(x) g(x, y, z, y′, z′)dx |
|
J*(y, z) = ∫F(x, y, |
z, |
(5.19) |
||
|
x1 |
|
|
|
В функционале (5.19) λ(x) тоже называется множителем Лагранжа. Для задач на условный экстремум это – функция.