Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011

отличается от линейной тем, что вместо прямого комплекса используется обратный. В этом случае плоскости прямого комплекса изображаются на проекции точками, а прямые – линиями. Зона плоскостей проектируется рядом точек, расположенных на прямой, являющейся проекцией оси зоны(рис. 1.2).

Рис. 1.2. Гномоническая проекция кристаллографической зоны: 1 – кристаллографическая зона в обратном комплексе;

2 – гномоническая проекция плоскости;

3 – гномоническая проекция оси зоны; С – центр комплекса; Р – плоскость проекции

Гномоническая проекция иногда применяется для построения проекций по лауэграммам ориентированных монокристаллов.

Недостаток гномонической проекции тот же, что и линейной – для полного изображений всех плоскостей и прямых обратного комплекса необходима бесконечная плоскость проекции.

6

1.2 Стереографическая проекция

При построении стереографической проекции центр кристаллографическогокомплекса C совмещается сцентромсферыО(рис. 1.3).

В качестве плоскости проекции используют плоскость, проходящую через центр сферы. Сечение сферы плоскостью проекции называют основным кругом проекции, а точки пересечения диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости проекции, – полюсами проекции. Северный полюс (точка N) лежит над плоскостью проекции, а южный (точка S) – под ней. Для получения стереографической проекции прямой соответствующую линию L проводят до пересечения со сферой в точке M1 и соединяют эту точку проектирующим лучом SM1, исходящим из южного полюса S. Пересечение проектирующего луча с плоскостью проекции дает стереографическую проекцию данной прямой в виде точки M1'. Соответственно проектирование точки пересечения той же прямой L в южном полушарии M2 проводят проектирующим лучом из полюса N, что дает стереографическую проекцию в виде крестика M2'.

Для различения проекций точек северного и южного полушарий первые обозначают точками, а вторые – крестиками.

7

Таким образом, стереографическая проекция прямой кристаллографического комплекса представляет собой две точки (точку и крестик), расположенные на равных расстояниях от центра проекции. Прямая, лежащая в плоскости проекции, изображается двумя точками, находящимися на основном круге проекции. Прямая, перпендикулярная к плоскости проекции, проектируется в ее центр.

Плоскость кристаллографического комплекса P проектируется как дуга большого круга (рис. 1.4), опирающаяся на диаметр основного круга проекции (сплошная при проектировании из северного полушария, пунктирная – из южного).

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекции, имеет вид прямой, проходящей через центр основного круга.

Зона плоскостей проектируется как серия дуг больших кругов, пересекающихся в двух диаметрально противоположных точках, являющихся проекциями оси зоны.

Гномостереографическая проекция (стереографическая проек-

ция обратного комплекса) является более удобной для решения практических задач. На этой проекции плоскости изображаются точками, а прямые – большими кругами. Зона плоскостей проектируется в виде точек, расположенных на большом круге.

Принцип построения гномостереографической проекции плоскости показан на рис. 1.5.

Плоскость P кристаллографического комплекса (центр комплекса совпадает с центром сферы) заменяется нормалью n, проходящей через центр сферы и пересекающей сферу в точке 1. Соединив точку 1 проектирующим лучом с точкой S, получаем на плоскости проекции точку 2, являющуюся гномостереографической проекцией плоскости.

Сетка Вульфа. Принцип построения сетки Вульфа показан на рис. 1.6. Любой меридиан – стереографическая проекция плоско-

8

сти, а меридианы сетки Вульфа – стереографическая проекция кристаллографической зоны, плоскости которой повернуты на 2o вокруг оси, лежащей в плоскости проекции. Любая параллель явля-

ется проекцией конуса с осью x, а параллели сетки Вульфа – сте-

реографическая проекция семейства соосных конусов, угол полураствора которых вокруг оси, лежащей в плоскости проекции, отличается на 2o.

Рис. 1.6. Построение сетки Вульфа:

плоскость 1 проектируется меридианом 1'; Рис. 1.7. Сетка Вульфа конус 2 проектируется параллелью 2'

Особенности сетки Вульфа (рис. 1.7) – равномерная угловая шкала основного круга проекции и неравномерные, но одинаковые шкалы нулевого меридиана и нулевой параллели (экватора).

Рассмотрим основные задачи, решаемые с помощью координатных сеток.

1.3. Применение стереографической проекции

Определение угла между двумя направлениями. Поскольку все направления и плоскости кристаллографического комплекса проходят через общую точку – центр комплекса, то любые два направления всегда лежат в одной плоскости. Угол между двумя рассматриваемыми направлениями находится в этой же плоскости, которая на стереографической проекции изображается меридианом. Поэтому

9

кальку с нанесенными на ней точками (проекциями рассматриваемых направлений) поворачивают вокруг центра сетки Вульфа до тех пор, пока эти точки (1–2) не окажутся на одном меридиане сетки (рис. 1.8). Искомый угол α определяют по разности широт, соответствующих параллелям точек 1, 2.

Если проекции двух направлений получены проектированием из разных полусфер (на кальке отмечены соответственно точка 3' и крестик 4), то кальку поворачивают таким образом, чтобы оба выхода направлений попали на симметричные меридианы относительно нулевого меридиана. Искомый угол α определяется суммой углов α1 и α2, отсчитываемых по соответствующим меридианам до полюса сетки.

Возможен и другой вариант нахождения угла α. Для этого следует перевести проекцию направления 4 (крестик) в точку 4', что будет отвечать случаю проектирования обоих рассматриваемых направлений из одной (северной) полусферы. Перевод крестика 4 в точку 4' осуществляется просто: крестик 4 соединяют прямой с центром проекции, на продолжении этой прямой откладывают расстояние, равное расстоянию от крестика до центра. Полученную точку 4' располагаем на одном меридиане с точкой 3'. Искомый угол (α' = 180° – α) отсчитывают вдоль этого меридиана.

Рис. 1.8. Определение угла между прямыми с помощью сетки Вульфа

10