Материал: Ялцев Практикум по физической кристаллографии 2011

Поворот вокруг произвольной оси. При вращении вокруг про-

извольной оси l траектория перемещения направления 1, образующего угол α с l, будет изображаться соответствующим малым кру-

гом (рис. 1.23).

Рис. 1.17. Поворот вокруг произвольной оси

Из-за неравномерности угловой шкалы по малому кругу угол поворота φ точки 1 вокруг l нельзя откладывать непосредственно с помощью транспортира.

Угол поворота φ – центральный в плоскости Pl , перпендикулярной к оси поворота l. Его можно найти как угол между направлением 2 – пересечением плоскости P, содержащей l и 1 до поворота, и направлением 2', соответствующим пересечению с плоскостью P' после поворота. Искомое направление 1' находится в плоскости P' на угловом расстоянии α от оси поворота l.

Определение эйлеровских углов поворота. Эйлеровские углы используются для описания поворота твердого тела (рис. 1.18,a).

Первый поворот на угол φ происходит вокруг оси z, при этом ось x переходит в x', ось y – в y', а система координат xyz – в x'y'z. Второй поворот на угол θ – вокруг оси x', при этом ось y' переходит в y'', ось z – в z', а система координат x'y'z – в x'y''z'. Третий поворот на угол ψ происходит вокруг оси z', при этом ось x' переходит в x'', ось y'' – в y''', а система координат x'y''z' – в x''y '''z'. Соответствующие повороты на стереографической проекции показаны на рис. 1.18,б.

16

между точками ZP и ZP' , являющимися проекциями z и z' на плоскость Pl.

а

Рис. 1.19. Определение оси и угла поворота в пространстве (а) и на стереографической проекции (б, в)

Контрольные упражнения и задачи

1.1.Определите графически с использованием сетки Вульфа угол φ12 между заданными направлениями 1 и 2.

1.2.Определите графически с использованием сетки Вульфа направляющие углы α, β, γ для заданного направления 1.

1.3.Определите графически с использованием сетки Вульфа сферические углы θ, φ для направления заданного 3.

1.4.Используя сетку Вульфа, найдите стереографическую проекцию плоскости P13, проходящей через направления 1 и 3.

1.5.Найдите графически с использованием сетки Вульфа гномо-

стереографическую проекцию плоскости N23, проходящей через за-

данные направления2 и3.

1.6.Найдите графически с использованием сетки Вульфа стерео-

графическую проекцию плоскости P4, если ее гномостереографиче-

ская проекция задана точкой 4.

1.7.Определите графически с использованием сетки Вульфа угол ψ

между направлением 1 и плоскостью Р34, проходящей через направления 3 и 4.

1.8.Определите графически с использованием сетки Вульфа угол δ между плоскостью P12, проходящей через направления 1 и 2, и плос-

костьюP13.

18

1.9.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление B, заданное направляющими углами α = 60°, β = 70°.

1.10.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление C, заданное сферическими углами θ = 50°, φ = 120°.

1.11*. В системе координат 245 с использованием сетки Вульфа найдитенаправлениеD, заданноенаправляющимиугламиα= 50°, β= 60°.

1.12*. Найдите графически с использованием сетки Вульфа угол ω

между проекциями направлений 1 и 2 на плоскость P45.

1.13*. Найдите графически с использованием сетки Вульфа угол η междуследамиплоскостейP12 иP24 наплоскостиP56.

1.14.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление A' в результате поворота заданного направления A вокруг оси X против часовой стрелки на 20°.

1.15.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление A'' в результате поворота заданного направления A вокруг оси Y по часовой стрелке на 40°.

1.16.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление A''' в результате поворота заданного направления A вокруг оси Z против часовой стрелки на 60°.

1.17.Найдите графически с использованием сетки Вульфа стерео-

графическую проекцию плоскости P12, проходящей через заданные направления 1 и 2, после поворота вокруг оси X по часовой стрелке на 90°.

1.18.Найдите графически с использованием сетки Вульфа траекторию вращения направления 2 вокруг 1.

1.19*. Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление 5 в результате поворота направления 3 вокруг 4 по часовой стрелке на 40°.

1.20*. Определите графически с использованием сетки Вульфа угол между направлениями 1 (точка) и 2 (крестик).

1.21*. Определите графически с использованием сетки Вульфа угол между направлением 1 и плоскостью, проходящей через направления 2 (крестик) и 3 (точка).

1.22.Найдите графически с использованием сетки Вульфа направление 2 в результате поворота направления 1 на 90° против часовой

стрелки вокруг 3 – нормали к плоскости P14, содержащей направления 1 и 4.

19

1.23. Определите графически с использованием сетки Вульфа эйлеровские углы φ1, θ, φ2 для системы координат, заданной направлениями 1, 2, 3 относительно XYZ.

1.24*. Найдите графически с использованием сетки Вульфа стереографическую проекцию оси разворота l при совмещении поворотом систем координат XYZ и 123.

1.25*. Определите графически с использованием сетки Вульфа угол поворота α при совмещении поворотом вокруг оси l систем коорди-

натXYZ и123.

Примечание. Звездочкой помечены упражнения и задачи повышеннойсложности.

2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА

Любой узел пространственной решетки можно записать в виде

Rm = m1a1 + m2a2 + m3a3, где a1, a2, a3 – векторы трансляций, а m1, m2, m3 – целые числа. Начало координат при этом может быть вы-

брано в любом узле пространственной решетки Пространственные решетки по симметрии расположения узлов

разделяются на семь видов, называемых сингониями (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Кристаллографические системы координат

Важной характеристикой кристаллографической системы является метрическая матрица G = {gij}, элементы которой определяются скалярными произведениями базисных векторов gij = (ai aj).

20