Дипломная (вкр): Зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута

Теоретическая модель и расчёты

В результате проведёного эксперимента были получены зависимости электрического сопротивления от уменьшающихся толщины и ширины нанопроводов R(t,w), в предположении, что образец имеет прямоугольное сечение ширина w и толщина t. Кроме того для сравнения сопротивление было измерено также и у тонких плёнках, здесь изменялась только их толщина. Как уже было сказано ранее: измерения сопротивления происходили между актами ионного травления. Все измеренные образцы, демонстрировали немонотонную зависимость R(t,w). Однако полученные экспериментальные результаты необходимо было сравнить с существующей теоретической моделью и выяснить насколько точно они соответствуют друг другу. Первые теоретические модели, описывающие энергетический спектр (массивного) висмута, были предложены ещё несколько десятков лет назад [24], и с каждым новым витком экспериментов они лишь обобщались для определённого вида наноструктур. Поэтому к нашему времени появилось немало таких моделей с различными степенями сложности [33]. Но для простого сопоставления эксперимента с теорией достаточно было рассмотреть довольно простую модель из работ [34,35].

Теоретическая модель

ичиной  (рис. 13). В низких температурах k_BT<<, и так как размер образца уменьшается, то в режиме КРЭ это перекрытие также уменьшается, что приводит в результате к разделению зон формированию энергетической щели E_g, т. е. переход металла в диэлектрическое состояние. В соответствии с моделью [18] рассмотрим провод с размерами w, t, и L (толщина, ширина и длина соответственно). Причём считается, что КРЭ в направлении z (длина нанопровода L) можно пренебречь. Волновая функция для свободной частицы будет даваться уравнением:

Соответствующая энергия для электронов:

здесь был использовано сокращённое обозначение для энергии:

Рис. 13. Схематичное изображение энергетического спектра висмута. Сплошные линии соответствуют массивному объекту, а пунктирные линии отражают дискретность энергетического спектра с учетом квантового размерного эффекта.

Теперь используя выражение для электронной плотности состояний

и распределение Ферми-Дирака для электронов с химическим потенциалом ^e

мы получим значение концентрации электронов при низких температурах:

Здесь s - спиновое вырождение, а  есть функция Хевисайда. Вывод аналогичного выражения для концентрации дырок p(E) достаточно просто и похож на вывод, проделанный выше. Электронный и дырочный химические потенциалы^e и ^h, значения которых были измерены внизу зоны проводимости и в вершине валентной зоны по отношению к уровню Ферми , теперь могут быть посчитаны из условия нейтральности зарядов n(E)=p(E). Записав энергию Ферми как ^e=_x^e+_y^e мы придём к выражению , где j=x, y. Затем, используя связь =^e+^h, получаем:

Энергия перекрытия была представлена как . Так как размеры образца становятся меньше, то зоны проводимости и валентности «скользят» вверх и вниз, и соответственно перекрытие зон тоже постепенно уменьшается. В то же время химический потенциал остаётся неизменным. Предположим, что перекрытие зон исчезает при ширине w₀ и толщине t₀, а именно:

Используя эти выражения вместе с уравнением (14), получаем величину ширины и толщины, при которых происходит переход из полуметалла в полупроводник:

Здесь , j=x, y. Энергетическая щель теперь может быть записана как . Определив величины а так же:

Найдём нормализованную электронную концентрацию:

Функция [x] есть целая часть от x. Рисунок 14 демонстрирует зависимость уменьшающейся электронной концентрации от толщины и ширины.

Рис. 14. Зависимость концентрации носителей от уменьшающихся ширины и толщины. График представляет из себя ступенчатую функцию. Для данного случая провод расположен вдоль биссектороной оси, а значения эффективных масс (в единицах масс свободных электронов): для электронов , а для дырок .

Квантовый размерный эффект в данном случае проявляется в виде ступенек в концентрации электронов. С каждым шагом электронная плотность меняется немонотонно, достигая максимального значения в определённой точке. Позиции этих в каждом из направлений сильно зависит от величины эффективных масс, то есть от кристаллической структуры провода. О важности данного факта было оговоренно ранее.

Далее, для получения интересующих нас проводимости и сопротивления будет использовано кинетическое уравнение Больцмана. Обозначив за невозмущённое и возмущённое распределения функциями f₀ и f, заряд носителей q  {qe, qh}, а также оператор скорости как . При наличии внешнего электрического поля E, уравнение Больцмана имеет вид:

При помощи линеаризации этого уравнения и введения времени релаксации , кинетические коэффициенты для одномерной системы могут быть получены из

причём  есть электрическая проводимость. Для того, чтобы получить время релаксации, предположим, что N рассеивателей, каждый с силой V₀, случайным образом распределенны на позициях R_j вдоль провода: , дальше, и использовав золотое правило Ферми:

Величина ≡wtL - объем образца.

здесь , а  есть величина плотности рассеивателей. Тогда электронный вклад в электрическую проводимость будет выглядеть следующим образом:

В данном выражении внешнее суммирование учитывает вклад от различных подзон (m,n). Для дырочной проводимости выражение получается аналогичным образом, а общая электрическая проводимость есть алгебраическая сумма электронного и дырочного вкладов. Таким методом можно найти и другие интересующие величины, например коэффициент Зеебека [18], но так как в этой работе измеряется только сопротивление, другие параметры для нас не представляют особого интереса. Для рассматриваемого на графике «теоретического» провода его диаметр, при котором должен произойти переход металл-диэлектрик равен ≈58 нм, а значение ширины w₀≈102 нм и толщины t₀≈26 нм, данные значения получены исходя из формул (16), а значения тензора эффективных масс представлены в подписи к рисунку 14.

Теоретические расчёты

Главной целью этой выпускной квалификационной работы является сопоставление зависимостей R(t,w), полученных в эксперименте, с теоретической моделью, описанной выше. Основной задачей при этом является определение положения исследуемого образца относительно кристаллографических осей. Из проведённого эксперимента известно, что тригональная ось перпендекулярна к плоскости образца. Считается, что для наблюдения КРЭ наилучшей ориентацией образца является его расположение оси z вдоль биссекторной оси C2 [18]. Так как данному направлению соответствует самая низкая электронная масса m^e_x. Если расположить образец абсолютно симметрично к направлению кристаллографической оси С2, то сопротивление будет проявляться как достаточно простая зависимость. Но в то же время, если расположить образец в произвольном направлении - возникнут соответствующие изменения, которые будут проявлять себя как возникновение вторичных максимумов. Это происходит из-за появления вклада неэквивалентных зон для соответствующего направления поверхности Ферми висмута. Поэтому при расчёте теоретических кривых было решено отталкиваться от данных, соответствующих биссекторной оси.

В ходе работы необходимо было посчитать теоретические зависимости R(t,w) для двух нанопроводов и R(t) для тонкой плёнки, с которой планировалось сравнить результаты, полученные на нанопроводах. На рисунке 15 представлено два графика, на графике (а) расположены экспериментальные кривые полученные для одного из исследуемых образцов при разных температурных режимах, на графике (б) представлена теоретическая кривая, построенная на основе данных для «теоретического» провода (рис. 14).

Рис. 15. а) экспериментальные кривые, полученные в трёх температурных режимах. Синяя кривая - температура жидкого гелия, красная кривая - комнатная температура, зелёная пунктирная - разность сопротивлений. б) Теоретическая кривая полученная для провода вытянутого вдоль биссекторной оси и с эффективными массами указанными в подписи к рисунку 14.

Если сопоставить экспериментальный график и теоретический (рис. 15), то выясняется что, несмотря на некоторую схожеть, они всё же достаточно сильно расходятся. Такому поведению есть несколько причин, о некоторых из них будет сказано позже, а одна причина является этапом теоретических расчётов. Так как сопротивление очень сильно зависит от направления расположения образца, т. е. величины эффективных масс, поменяв их, можно достичь гораздо лучшего результата. И к тому же, не исключается и то обстоятельство, что выращенный образец мог расположиться своей длинной осью z не симметрично какой-либо из кристаллографических осей.

Используя формулы (16, 17, 23) и меняя тензор эффективных масс таким образом, чтобы он не только достаточно чётко повторял экспериментальную кривую, но имаксимально точно соответствовал значениям отвечающим бинарному или биссекторному направлению, был достигнут максимальный результат при следующих значениях эффективных масс: m^e_x=0.0011, m^e_y=0.2913, m^e_z=0.0071, m^h_x=0.634, m^h_y=0.059, m^h_z=0.059. При этом величины критической ширины w0 и толщины t0, при которых должен произойти переход металл-диэлектрик, равны 110 нм и 26 нм соответственно. Данный набор эффективных масс соответствует бинарной оси, однако не точно. Отклонение образца от бинарной оси составило порядка 3-4 градусов. Результирующая кривая представлена на рисунке 16 вместе с экспериментальными данными.

Рис. 16. На графике представлена зависимость сопротивления R от эффективного диаметра d_eff=(w*t)^1/2 нанопровода №1 из висмута. Красная кривая с квадратными точками изображает зависимость при комнатной температуре, синяя кривая с круглыми точками - зависимость при температуре жидкого гелия и чёрная сплошная кривая есть теоретическая зависимость. График взят из работы [36].

Также была построена теоретическая зависимость для второго образца висмутового нанопровода (рис. 17). Также как и в ситуации с первым образцом, в ходе расчёта было выяснено, что образец лежить вдоль бинарной оси. Данному образцу соответствуют следующие значения: эффективные массы m^e_x=0.002, m^e_y=0.2293, m^e_z=0.0012, m^h_x=0.634, m^h_y=0.059, m^h_z=0.059; критические величины ширины и толщины w₀=101 нм, t₀=29, нм; отклонение образца от бинарной оси составило также порядка нескольких градусов. Сравнивая данные с рисунков 16 и 17 можно заметить, что, казалось бы, небольшие изменения ориентации образца (формально - несколько другие эффективные массы), приводят к значительному различию зависимостей сопротивления R от эффективного диаметра d_eff=(w*t)^1/2.

Рис. 17. Зависимость сопротивления R от эффективного диаметра deff=(w*t)1/2 нанопровода №2 из висмута. Прерывистая кривая с треугольными точками изображает зависимость при комнатной температуре, прерывистая кривая с ромбовидными точками - зависимость при температуре жидкого гелия и синяя сплошная кривая есть теоретическая зависимость.

В ходе работы был произведён расчёт теоретической кривой и для исследованной двумерной тонкой плёнки. Результат представлен на рисунке 18.

Рис. 18. Зависимость сопротивления R от толщины t напылённой двумерной тонкой висмутовой плёнки. Зелёная прерывистая линия соответствует зависимости R(t) при комнатной температуре. Синяя прерывистая кривая зависимость R(t) при температуре жидкого гелия, а чёрная сплошная линия теоретическая зависимость R(t) полученная в ходе расчёта в приближении нулевой температуры.

Обсуждение результатов

Анализ полученных результатов следует начать с графика для тонкой плёнки. Зависимость R(t), которая была получена в ходе в эксперимента очень похожа на уже существующие результаты, полученные на тонких плёнках висмута [1,2,37]. Из чего мы можем заключить, что поставленный эксперимент был успешным. Однако результат для двумерной плёнки можно интерпретировать только качественно. Это связано с тем, что плёнка изготовлена из очень большого количества кристаллов (рис. 19), которые имееют разное направление протекания тока относительно кристаллографических осей, т. е. каждая гранула будет иметь свой собственный вклад в общее сопротивление. В следствии этого, совмещение вкладов от каждого из зёрен приведёт к очень сложным результатам. Так как общее сопротивление - сумма всех сопротивлений по трём направлениям x,y,z, и проанализировать такую зависимость будет очень и очень сложно из-за неизвестности направления осей каждой из гранул.