Материал: 1532

заданных величин в СИ. Руководствуйтесь правилами приближённых вычислений (прил. 1). Если в тексте задачи не приводятся физические постоянные, воспользуйтесь таблицами в конце книги (прил. 8 – 12) или в рекомендуемой литературе6. В последнем случае укажите источник, откуда взяты табличные данные.

Числовые значения величин рекомендуется записывать вместе с их единицами. Однако в случаях, когда все именованные числа выражены в единицах одной системы и с ними выполняется длинный ряд арифметических действий по громоздкой формуле, тогда числа можно не сопровождать единицами. Но по окончании вычислений наименование искомой величины выписывается ещё раз вместе с числовым значением и соответствующей единицей величины. Например,

J = 0,063 10−3 2 0,021 10−3 2 0,131 10−3 2 = 0,146 10−3 ;

ΔJ = 0,146 ·10-3 кг∙м2.

7. Избегайте записи чисел с большим количеством нулей; пользуйтесь представлением числа со степенью десяти. Для быстрой оценки числового значения искомой величины и для удобства работы с калькулятором рекомендуется записывать значения исходных данных в нормализованном виде; при этом целая часть числа содержит один разряд, а справа записывается порядковый множитель (целая степень десяти). Так, например, вместо числа 0,00012 удобнее производить вычисления с числом 1,2∙10-4 , а вместо числа 2820, когда в нём все цифры значащие, можно записать 2,820∙103.

Напомним действия с числами степени десяти:

8.Округлите числовое значение искомой величины в соответствии с количеством значащих цифр в исходных данных. В промежуточных вычислениях оставляйте на одну – две цифры больше.

9.Оцените реальность полученной функциональной зависимости

ичислового значения искомой величины. Запишите полный ответ на вопрос, поставленный в задаче.

Варианты 26 − 30 могут быть предложены в качестве СРС для желающих, так как они включают задачи повышенной трудности. Тот, кто справляется с ними, вправе рассчитывать на более высокую оценку, чем та, что установлена за решение задач других вариантов.

Вместо одной-двух задач преподаватель может в исключительных случаях предложить выполнить реферат или другую исследовательскую работу на тему, близкую к той, что изучается по программе.

6См. аннотированный указатель литературы (с. 138). Нумерация рекомендованных источников в указателе сопровождается звёздочкой «*» в отличие от библиографического списка в конце пособия.

21

4.3. Обработка результатов измерений

(Методические указания к заданию 1)

Задание 1 состоит в следующем: определить погрешности измерительных приборов, используя их заданные метрологические характеристики; провести статистическую обработку результатов многократных прямых измерений, найти случайные погрешности и вычислить абсолютные погрешности прямых измерений; вывести формулу для расчёта погрешности косвенного измерения и вычислить значение этой погрешности; записать результат измерения в стандартном виде:

где A – среднее значение величины A; ΔA – абсолютная погрешность этой величины; Р – доверительная вероятность.

Точное значение измеряемой величины определить невозможно даже путем многократных измерений. Однако путём статистической обработки экспериментальных данных можно рассчитать интервал, в котором находится с некоторой вероятностью (Р < 1) значение этой величины.

Результат многократных измерений длины, представленный в виде (1), например ℓ = (15,3 ± 0,4) мм; Р = 0,95, означает, что значение величины ℓ находится в интервале от 14,9 до 15,7 мм с вероятностью Р = 0,95, т. е. 95 % измерений этой величины дадут значения, попадающие в указанный интервал.

Пусть результат косвенного измерения величины y является функцией y = f(a, b, c, ...), где величины a, b, c, ... получены путём прямых многократных измерений при неизменных условиях.

Алгоритм нахождения доверительного интервала (1) следующий. 1. Найти средние арифметические значения результатов прямых

где tP,n — коэффициент Стьюдента, который можно найти по табл. 2

22

в соответствии с выбранной доверительной вероятностью Р = 0,95 и числом измерений n величины a.

представляют собой абсолютные погрешности отдельных измерений.

Таблица 2

Значения коэффициентов7 Стьюдента при Р = 0,95

где К – класс точности; amax и amin – верхний и нижний пределы измерений данного прибора.

Если прибор имеет симметричную шкалу с нулём посредине, то

систематическая погрешность принимается равной цене деления (с вероятностью Р = 0,95).

a = a ± a ; P = 0,95.

Результат измерения представляет собой доверительный интервал, в котором находится действительное значение измеренной величины с заданной доверительной вероятностью (Р = 0,95).

7 Полная таблица коэффициентов Стьюдента приводится в прил. 7.

23

Абсолютную погрешность Δa округляют до двух значащих цифр, если первая значащая цифра 1 или 2, а когда первая цифра 3, 4, ... 9, то до одной значащей цифры.

Среднее значение a округляют так, чтобы последние цифры в числовых значениях a и a находились в одном разряде.

Примеры: m = (224,7 ± 1,4)·10-3 кг; Р = 0,95;

ℓ= (43,20 ± 0,03) мм; Р = 0,95.

7.Рассчитать абсолютную погрешность Δy косвенного измерения одним из двух методов.

7.1.Дифференцирование натурального логарифма

функции y = f a ,b ,c ,... .

Первым методом сначала определяем относительную погрешность

Погрешности величин, представленных в (7–9) табличными значениями, принимаются равными половине единицы наименьшего разряда числа.

Пример: π = 3,14; π = 0,005.

8. Результат представить в виде y = y ± y ; Р = 0,95.

Числовые значения y и y окончательного результата выра-

зить в единицах СИ.

В текстах задания 1 в скобках рядом с названиями приборов указаны их метрологические характеристики. Для электроизмерительных приборов приводятся предел измерения и класс точности, например (0,5 А; 1,0). Для остальных — только цена деления, например (0,05 мм/дел).

В табл. 3 приведены результаты применения формул (7 – 9) к некоторым простым функциям. Основные формулы дифференцирования можно найти в прил. 3.

24