Материал: 1532

При малых скоростях (υ << c; p << mc) связь полной энергии с импульсом частицы (с учётом энергии покоя) имеет вид

Для решения задач ядерной физики (задание 20) в большинстве случаев достаточно таблиц, имеющихся в прил. 8–12.

В расчётах энергии связи Есв = Δm·c2 и энергетического эффекта ядерных реакций Q = Δm·c2 рекомендуется выражать дефект массы Δm в атомных единицах массы (а.е.м.). Атомная единица массы равна 1/12 массы атома изотопа углерода С-12. В единицах СИ 1 а.е.м. составляет 1,66053873∙10-27 кг. Соответствующая ей энергия Е = m·c2 равна 1,49241778∙10-10 Дж = 931,494013 МэВ.9 Таким образом, если воспользоваться внесистемными единицами массы (а.е.м.) и энергии (МэВ), то квадрат скорости света в вакууме, представляющий собой коэффициент пропорциональности между энергией и массой в формуле Е = m·c2, равен c2 = 931,4940 МэВ/а.е.м. Тогда для практических расчётов энергии связи получаем простую формулу

В решениях задач по квантовой механике (задание 19) следует использовать соотношения неопределённостей в виде

где ħ = 2hπ , h – постоянная Планка; h = 6,626 Дж∙с; ħ =1,055 Дж∙с.

9 1 электронвольт — энергия, которую приобретает электрон (или другая частицы с зарядом, равным по модулю заряду электрона) в результате ускорения под воздействием электрического поля с разностью потенциалов 1 В между начальной и конечной точками.

10 В литературе встречаются и другие варианты записи правой части соотношения неопределённостей. Они различаются только множителем при постоянной Планка.

31

4.6. Термодинамический цикл. Определение КПД теплового двигателя

(Методические указания к заданию 23□)

Исходные данные: диаграмма с изображением прямого термодинамического цикла, состоящего из нескольких (обычно четырёх) изопараметрических процессов. Все необходимые для расчётов параметры газа указаны на диаграмме. Варианты циклов приводятся в п. 4.8 (с. 133).

Содержание задания: а) определить КПД теплового двигателя, работающего по заданному циклу; подтвердить расчётами для данного цикла теорему Карно о том, что КПД цикла Карно наибольший по сравнению с КПД циклов, состоящих из других процессов, но проходящих между теми же температурами максимальной Т1 и минимальной Т2; б) проверить, cовпадает ли значение полного количества теплоты в цикле со значением работы заданного цикла, то есть

выполняется ли равенство Ацикла = Qцикла; в) убедиться в том, что суммарное изменение внутренней энергии в цикле равно нулю,

ΔUцикла = 0.

Краткая теория

Термодинамическим процессом называют процесс изменения состояния термодинамической системы (например, газа). Состояние системы характеризуется следующими параметрами: давлением р, объёмом V, температурой Т, энтропией S.

Круговым процессом, или циклом, называют совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Термодинамическая система, совершающая круговой процесс и обменивающаяся энергией с другими телами, называется рабочим веществом (рабочим телом). На диаграмме в координатах p – V, p - T и других цикл изображается замкнутой кривой. Круговые процессы лежат в основе действия тепловых машин.

Круговой процесс, предлагаемый к изучению, составлен из нескольких изопараметрических процессов (изопроцессов) в идеальном газе. В каждом из изопроцессов один из параметров (р, V, Т или S) остаётся постоянным в ходе изменения состояния газа. Изменение состояния вызывается подведением к газу (или отведением от него) количества теплоты Q, совершением работы А силой давления газа. Вследствие этого изменяется внутренняя энергия газа U.

32

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию хаотического движения молекул. Энергия одной молекулы складывается из энергии поступательного движения и, если молекулы не одноатомные, энергии вращательного движения

иэнергии колебательного движения. Вычисляя значения внутренней энергии газа в предложенном цикле, можно пренебречь колебательными степенями свободы, так как температуры газа достаточно малы,

иколебания атомов в молекуле не возбуждаются.

Изменение внутренней энергии, U1-2 = U2 – U1, не зависит от процесса, посредством которого происходит переход из состояния 1 в состояние 2, а только от начального и конечного состояний. Поэтому внутреннюю энергию называют функцией состояния (а не процесса!). Отсюда следует, что изменение внутренней энергии в круговом

процессе равно нулю, Uцикла = 0, так как начальное и конечное состояния совпадают: U2 = U1 .

Количество теплоты Q1-2 и работа сил давления газа А1-2 не являются функциями состояния, так как значения той и другой величин неодинаковы при переходе из состояния 1 в состояние 2 различными путями. Поэтому говорят, что работа газа и количество теплоты – функции процесса.

Связь величин А, Q и U устанавливается первым законом термодинамики, который представляет собой выражение закона сохранения и превращения энергии в применении к термодинамическим процессам

ν– количество вещества; dT – приращение температуры; i – число степеней свободы молекулы газа;

R – молярная газовая постоянная;

ν= m/M; m – масса газа; M – молярная масса;

δА = p·dV – бесконечно малая работа сил давления газа, обусловленная приращением его объёма dV.

33

Изменение внутренней энергии рассчитывается одинаково для всех процессов:

где i = 3 для одноатомных молекул газа, i = 5 для двухатомных молекул, и если молекула газа состоит из трёх и более атомов, тогда i = 6. Предполагается, что температуры газа таковы, что колебательные степени свободы не возбуждаются и температурные изменения не приводят к изменению ни состава газа, ни числа степеней свободы молекул, ни количества газа во всех процессах, то есть i = const и ν = const.

Количество теплоты Q, изменение внутренней энергии ΔU и работа А – скалярные величины; их знаки определяются следующим образом. Если ΔV > 0 (объём увеличивается), то А > 0; если температура возрастает (ΔТ > 0), то ΔU > 0.

Знак величины Q в настоящей работе определяется в соответствии с первым законом термодинамики (Q = ΔU + А) знаком алгебраической суммы ΔU + А. Если получившееся значение Q для данного процесса положительно, то теплота подводится (Qподв > 0) в этом процессе. В противном случае теплота отводится (Qотв < 0).

Изучение термодинамических циклов позволяет понять общие закономерности работы двигателей внутреннего сгорания (ДВС), газовых турбин, ракетных двигателей, холодильных установок, кондиционеров, тепловых насосов.

Практическое значение имеют как прямые, так и обратные круговые процессы. Прямой цикл реализуется в тепловых двигателях для превращения тепловой энергии в механическую. Обратные круговые процессы имеют место в холодильниках, кондиционерах, тепловых насосах. На диаграммах в координатах р – V и р – Т процессы в прямом цикле протекают по ходу часовой стрелки.

Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называют отношение механической работы, совершённой рабочим телом в ходе одного цикла, к количеству подведённой при этом теплоты

34

= Qподв

где Ацикла – суммарная работа сил давления газа во всех процессах цикла; Qподв – сумма количеств теплоты в тех процессах, где теплота

подводится.

Полную механическую работу, совершённую рабочим телом в ходе цикла, можно определить не только как сумму работ во всех процессах цикла, но и как сумму всех количеств теплоты с учётом знака

Выполнение задания

1. Произвести отсчёты начальных и конечных параметров газа для каждого из термодинамических процессов заданного цикла по шкалам диаграммы. Недостающий параметр найти из уравнения состояния pV = νRT. Результаты занести в табл. 4.

Таблица 4

Параметры начальных и конечных состояний рабочего вещества

(одну из них — исходную — следует воспроизвести) в соответствии с заданными значениями параметров газа.

35