Материал: 361

2

ББК 2

А-46

Александров, Ю. Н.

Сборник задач по дифференциальным уравнениям : учебное пособие / Ю. Н. Александров ; В. М. Смирнов. – М. : Московский университет МВД России, 2013. – 67 с.

В пособии представлены задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач. В сборник включены задания по следующим типам дифференциальных уравнений: дифференциальные уравнения 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах), дифференциальные уравнения высших порядков, а также линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Предназначено для обучающихся по специальностям «Экономическая безопасность» и «Безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере», а также может быть полезно студентам, курсантам и слушателям, изучающим обыкновенные дифференциальные уравнения по другим специальностям.

ББК 2

Рецензенты: начальник кафедры информационной безопасности Московского университета МВД России, кандидат технических наук К. К. Борзунов; старший преподаватель кафедры информационных технологий управления органами внутренних дел Академии управления МВД России, кандидат технических наук В. И. Кононенко.

©Московский университет МВД России, 2013

©Александров Ю. Н., 2013

©Смирнов В. М., 2013

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения – раздел математики, неизменно присутствующий в программе подготовки как будущих инженеров, так и будущих экономистов. Этот раздел обычно изучается в конце курса математики, поскольку и понятие дифференциального уравнения, и методы их решения основываются на знаниях других разделов математики, таких, как дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, аналитическая геометрия и др. Это вызывает определенные трудности, поскольку при решении дифференциального уравнения может потребоваться найти несколько интегралов, решить систему линейных уравнений, вычислить определитель и т.п.

Зачем изучать столь сложный раздел математики? Зачем нужны дифференциальные уравнения?

Практически в любой предметной области, будь то техника, экономика или психология, объектом изучения становятся некоторые числовые величины, например, положение объекта (его координаты), сила тока, прибыль, объем производства, наблюдаемые в течение времени, а также скорости их изменения. В каждой предметной области выводятся свои законы, связывающие эти величины, их скорости изменения, а иногда и ускорения. Вспомнив, что скорость изменения величины – фактически первая производная этой величины по времени, а ускорение – вторая, получаем, что практически любой закон – некоторое дифференциальное уравнение, а решение данного дифференциального уравнения – зависимость этой изучаемой величины от времени.

Существует множество типов дифференциальных уравнений, а также методов их решения. Большинство из них по силам только ма- тематикам-профессионалам. Доказано, что часть дифференциальных уравнений невозможно решить аналитически.

Данное учебное пособие предназначено не для математиковпрофессионалов, поэтому здесь представлены краткие необходимые теоретические основы дифференциальных уравнений, а также методы решения простейших дифференциальных уравнений. При необходимости изучения дифференциальных уравнений в более полном объеме рекомендуется изучить учебники и учебные пособия, приведенные в списке литературы.

5

Цель данного пособия – дать представление о дифференциальных уравнениях и отработать навыки решения типовых наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений.

Учебное пособие разбито на три главы: «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения высших порядков», «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами». Каждая глава, в свою очередь, разбита на параграфы.

Каждый параграф начинается с краткого изложения теории, основных формул и с образцов решения типовых задач. Далее в каждом параграфе представлены задания для самостоятельного решения обучаемыми (ответы и указания к этим задачам расположены в конце учебного пособия). Завершается параграф заданиями для контроля знаний (по 20 заданий каждого типа) для выдачи индивидуального домашнего задания и/или проведения самостоятельных и контрольных работ.