Материал: 361

11

№ 8. Проверить, что заданная функция 6= · B 2 16 является общим решением дифференциального уравнения

2 1 ′′ ′ 1, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 0 5, ′ 0 1.

№ 9. Дано дифференциальное уравнение: ′′ 4 12. Опреде-

лить порядок этого дифференциального уравнения; проверить, что заданная функция 6= sin 2 6 cos 2 3 является общим ре-

шением этого уравнения, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 0 0, ′ 0 1.

№ 10. Дано дифференциальное уравнение: ′′ 12 4. Определить порядок этого дифференциального уравнения; проверить, что заданная функция 2 2 6= 6 является общим решением этого уравнения, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 1 3, ′ 1 0.

Задания для контроля знаний

№ 11. Дано дифференциальное уравнение: ′ . Определить, какая из указанных функций является общим решением этого

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 12. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 6. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 13. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

12

№ 14. Дано дифференциальное уравнение: ′ 4 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2.

№ 15. Дано дифференциальное уравнение: ′′ ′ 1. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 2, ′ 0 0.

№ 16. Дано дифференциальное уравнение: ′ 3 sin 3. Оп-

ределить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 1.

№ 17. Дано дифференциальное уравнение: ′ 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 2.

№ 18. Дано дифференциальное уравнение: ′ 0. Опреде-

лить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 2.

13

№ 19. Дано дифференциальное уравнение: ′ 2 5 sin . Оп-

ределить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 0 3.

№ 20. Дано дифференциальное уравнение: 0.

Определить, какая из указанных функций является общим решением этого уравнения:

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-

вию 1 5.

§ 2. Простейшие дифференциальные уравнения

Простейшим дифференциальным уравнением называется диф-

ференциальное уравнение вида:

′ .

Задача нахождения всех функций , удовлетворяющих данному условию, уже встречалась в курсе интегрального исчисления, и

мы знаем, что общим решением данного дифференциального уравнения является первообразная функции , т.е. L .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

′ sin .

Решение. Применив правила интегрирования и известные инте-

гралы элементарных функций, получим:

M sin M cos 4@ 6,

где 6 – произвольная константа.

Ответ: cos @N 6.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

′ sin .

15