Материал: 361
61
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Основные понятия и определения № 1. 3 8; № 2. 2; № 3. 5;
№ 4. Уравнение первого порядка;
№ 5. Уравнение третьего порядка;
№ 6. ? 1 (6 √2); № 7. 2 @; № 8. 5 ;
№ 9. Уравнение второго порядка, = sin 2 3 cos 2 3; № 10. Уравнение второго порядка, 2 2 2 1.
§ 2. Простейшие дифференциальные уравнения |
|||||||||||
№ 21. 4 sin 6; |
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 22. |
√ |
3 2 = |
C? 6 (в первом слагаемом замена |
||||||||
O 3 2, а во втором – O ); |
|
|
переменной O |
||||||||
№ 23. |
q cos@ 2 6 |
(необходимая |
замена |
||||||||
cos 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 24. ? 4 ln| | = 6 (необходимо почленно разделить |
|||||||||||
числитель на знаменатель: |
JC@ T= |
@ |
|
|
|
||||||
|
? |
C); |
|
|
|||||||
№ 25. 4 sin 6 |
(применяем интегрирование по частям: |
||||||||||
P 3 5, Q ); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 26. Z sin · Z= cos · 6 (необходимо дважды про- |
|||||||||||
интегрировать |
по |
частям: |
’ L sin V= W sin · = |
||||||||
= L cos V= W sin · |
= |
|
|
|
|
||||||
= Vcos · = |
= L sin W; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пришли к |
исходному |
интегралу |
’ = sin · |
@= cos · @= ’, |
|||||||
отсюда выражаем ’); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
62
№27. 2UC UC 8 (применяем интегрирование по частям: P 4, Q UC );
№28. 2 = sin 1 2 =;
№29. 1 B 3 ;
3 ln| | 1 =.
|
§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными |
№ 71. arctg J · 20 6; |
|
№ 72. |
=? = · T @ cos 4 6; |
№ 73. |
C Z= Z 6; |
|
¶·(,Z ?T> |
№74.
№75.
№76.
№77. 6 1 cos · 1 ;
№78. ;@ 20 56 ln| 3| 6;=? ln 6;1 cos · 15 6 · GHI C=;GHI T=
№ 79. 8 16 ln| 2| 6; |
|
= |
CZ |
№80.
№81. J¸ ? 1;
№82. =CkŠrl;
№83. sin = cos 2 √@ ;ln|sin 3| 6;
;
№85. = ln V = W.
§4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
№106. 6 ln ;
№107. =T>;
№108. ln 6 ;
№109. 3 2 6;
№110. 2 ln 6.tg V= =W
63
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
и уравнения Бернулли № 131. 6 C? (линейное);
>
№132.
№134.
№135.
§6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
№146. 6;
№147. sin 5 6;
№148. C 6;
№149. 3 2 5 6;
№150. 2 6;
№151. B2 1 2 6;
№152. @ 3 6;
№153. 4 3 6;
№154. 2B Z 2 6;
№155. 3JB @ X 2 6.линейное
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков |
|
№ 176. |
UJ ? ln| | 6= 6 ; |
№ 177. |
@N q= sin 2 1 6= 6 6 ; |
№ 178. |
UJ qN q= 6= 6 6 ; |
6@;
№180.№ 179. = ([ cos 1 6= 66= @ 6 ; 6
|
|
|
J |
6 ; |
№ 181. |
|
6= ? |
||
№ 182. |
2; |
|
|
|
№ 183. |
; |
|
|
|
№ 184. |
= |
|
|
|
=C; |
|
|
|
|
№ 185. |
V1 W . |
|
||
64
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 2. Однородные линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
№ 247. 6= |
6 |
; |
|
|
|||||
№ 248. |
6= |
6 ; |
|
|
|||||
№ 249. |
6= |
|
6 C; |
|
|
||||
№ 250. 6= |
JmN√Š] |
6 JrN√Š] |
; |
|
|||||
№ 251. |
6= |
C=T √ 6 C=C |
√ ; |
|
|||||
№ 252. |
6= |
|
6 |
CZ; |
|
|
|||
№ 253. |
6= |
|
sin 4 6 cos 4; |
|
|
||||
№ 254. |
6= |
6 |
@; |
|
|
||||
№ 255. |
6= |
=T |
√U 6 =C √U ; |
|
|||||
№ 256. |
6= |
|
6 C=U; |
|
|
||||
№ 257. |
6= sin 3 6 cos 3 ; |
|
|||||||
№ 258. |
6= |
l |
6 |
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
CJ] ; |
|
|
||
№ 259. 6= |
[ |
6 C[; |
|
|
|||||
№ 260. |
6= |
|
6 C(,q; |
|
|
||||
№ 261. C?Š |
V6= sin 6 cos W; |
||||||||
№ 262. |
6= 6 |
CX; |
|
|
|||||
№ 263. |
6=Š |
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
CNŠ ; |
|
W |
|||
|
Š, |
V6= sin =( 6 cos =( |
|||||||
№ 264. |
|
|
|
√ |
√ . |
||||
§ 3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
|
№ 321. |
(,q · 6= sin 0,6 6 cos 0,6 =XZ sin 6 |
||||
|
@q |
cos 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
№ 322. |
6= sin U 6 cos U |
|
sin U; |
||
|
= |
|||||
|
№ 323. |
6= 6 U |
=X; |
|||
|
№ 324. |
U |
U |
|||
а) о.о. 6= C 6 C 6 ;
б) ч. c ® sin 6 . cos ;
65
№ 325.
а) о.о. 6= sin 4 6 cos 4 6 =; б) ч. c ® 6 · · =;
№ 326.
а) о.о. 6= 6 6 C;
б) ч. · c ® 6 . ;
№ 327.
а) о.о. 6= C 6 sin 6 cos ;
б) для правой части = sin – ч.= c ® sin6 . cos , а для правой части 1 – ч. c;
№ 328.
а) yо.о. 6= 6 6 6@ sin 6Z cos 6U ; б) ч. c ® ;
№ 329.
а) о.о. 6= sin 4 6 cos 4 6 sin 4 6@ cos 4
6Z 6U C;
б) ч. · c ® 6 ;
№ 330.
а) yо.о. 6= C 6 C 6 C 6@ 6Z 6U ;
б) для правой части = – ч.= c ® 6 , а для пра-
вой части – ч. c ® .