Материал: 361
56
56
3 |
|
|
|
|
1. |
Число §• не является корнем характеристи- |
|
|
|
°u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°u |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin § b cos § |
||||||||||||||||
|
a¨ sin § b cos § |
ческого уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 max “, y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2. |
Число |
§• |
является корнем характеристиче- |
|
|
|
|
|
œ |
|
|
· |
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
au sin § bu cos § |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ского уравнения кратности - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 max “, y |
||||||||||||
3а |
|
|
|
|
1. |
Число §• не является корнем характеристи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
° |
|||||||||
|
|
|
|
|
ческого уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a¨ sin § |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||
|
|
|
2. |
Число §• является корнем характеристиче- |
|
|
|
|
|
œ |
· |
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ского уравнения кратности |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||||||
3б |
|
|
|
|
1. |
Число §• не является корнем характеристи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
° |
|||||||||
|
|
|
|
|
ческого уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a¨ cos § |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||
|
|
|
2. |
Число §• является корнем характеристиче- |
|
|
|
|
|
œ |
· |
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ского уравнения кратности |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
1. |
Число |
ƒ §• |
не является корнем характери- |
|
|
|
|
¦ |
· |
|
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||
|
|
¦ · a¨ sin § |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
au sin § bu cos § |
|||||||||||||
|
|
стического уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 max “, y |
|||||||||||||
|
|
|
|
b cos § |
2. |
Число |
ƒ §• |
|
является корнем характеристи- |
|
|
|
œ |
· |
¦ |
· |
° |
|
|
|
° |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
au sin § bu cos § |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ческого уравнения кратности - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 max “, y |
||||||||||||
4а |
|
|
|
|
1. |
Число ƒ §• не является корнем характери- |
|
|
|
|
¦ |
|
|
· |
|
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
стического уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a¨ · ¦ sin § |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||
|
|
2. |
Число ƒ §• является корнем характеристи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œ |
· |
¦ |
· |
° |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ческого уравнения кратности - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b¨ cos § |
|||
4б |
|
|
|
|
1. |
Число ƒ §• не является корнем характери- |
|
|
|
|
¦ |
|
|
· |
|
|
° |
|
|
|
|
° |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
стического уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a¨ · ¦ cos § |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § b¨ cos § |
||||||||||
|
|
2. |
Число ƒ §• является корнем характеристи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œ |
· |
¦ |
· |
° |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ческого уравнения кратности - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¨ sin § |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
и ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b¨ cos § |
||||
Примечание. В последней колонке таблицы |
|
– многочлены степени |
“ |
с неопределенными коэффициентами, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
° |
|
и ° |
|
|
|
|
|
|
a¨ |
|
b¨ |
|
|
h, ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
– многочлены степени |
8 |
с неопределенными коэффициентами, а |
, |
h |
– неопределенные коэффициенты. |
||||||||||||||||||||||||||||
au |
bu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ® 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
57
Пример 9. Найти общее решение неоднородного линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Решение. о.н. о.о. част. .
Рассмотрим соответствующее однородное:
x 0.
Составим и решим его характеристическое уравнение: t 1 0 | t= 1, t 1.
Запишем общее решение однородного дифференциального урав-
нения:
о.о. 6= 6 C , t 1 a= .
– является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому в соответствии с п. 2(2) сводной таблицы видов частных решений для различных видов правых частей частное решение
следует искать в виде:
част. · a°= · · c ® · c ® · .
Находим производные и подставляем в исходное уравнение. |
||
|
c 2c ® ® · |
|
|
c 2c ® ® · |
|
c 4c ® 2c 2® · |
|
|
c 4c ® 2c 2® · |
||
c 2c ® ® · 2c 2c ® |
||
Отсюда: 2c 1 и 2c ® 0, т.е. c =, ® 1. |
||
|
|
|
о.н. о.о. част. 6= 6 C V= W · . |
||
Ответ: 6= 6 C V= W · . |
|
|
|
|
|
Теорема (принцип суперпозиции или наложения). Если функции |
|
u – есть решение дифференциального уравнения: |
|
! ! C= C= ˜ ! != !( u , |
|
где 8 1, 2, … , “, то функция |
¨ |
|
u+=± u |
является решением дифференциального уравнения: ¨
! !C= C= ˜ ! != !( u+=± u.
58
Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:
6 9 4 16 .
Решение. Характеристическое уравнение t 6t 9 0 имеет корни t= t 3, поэтому общим решением о.о. соответствую-
щего однородного уравнения будет:
о.о. 6= 6 .
Для нахождения частного решения част. исходного уравнения
найдем частные решения двух уравнений.
6 9 46 9 16
Первое уравнение имеет частное решение вида = c в со-
ответствии с п. 2(1) таблицы. Подставляя = в свое уравнение,
найдем c 1, т.е. = .
Частное решение второго уравнения в соответствии с п. 2(2) таб-
лицы ищем в виде ® . Подставляя во второе уравнение, находим ® 8 и 8 .
В силу принципа суперпозиции решений частное решение част.
исходного уравнения будет равно сумме частных решений = и.
част. = 8о.н. о.о. част. 6= 6 8 Ответ: 6= 6 8 .
Задания для самостоятельного решения
Найти общее решение дифференциального уравнения:
№ 321. 5 8 5 sin 6; № 322. 36 cos ;
U
№ 323. 7 6 4.
Дано дифференциальное уравнение:
! ! != !( .
Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциаль-
ного уравнения с постоянными коэффициентами общ.однор. ; б) вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, если известны корни ха-
рактеристического уравнения t=, …, t .
№ 324. t= t 2, t 2, sin cos ;
59
№325. t= 4•, t 4•, t 12, 4 6 · =;
№326. t = t 2, t 2, 13 1 · ;
№327. t= 1, t 1 •, t 1 •, · sin 1.
Дано дифференциальное уравнение:
!U Ž• !Z Ž !@ •Ž ! ! != !( .
Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения общ.однор. ; б) вид частного решения неодно-
родного линейного дифференциального уравнения, если известны |
|||
корни характеристического уравнения t=, …, tU. |
|
|
|
№ 328. t= t t 0, t@ 2 •, tZ 2 •, tU 2, |
|||
2 5; |
t t@ 2 4•, |
tZ 2, |
tU 2, |
№ 329. t= t 2 4•, |
|||
4 6 · ; |
|
|
|
№ 330. t= t t 3, t@ tZ 0, tU 2, . |
|||
|
|
Задания для контроля знаний |
|
Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|||
№ 331. |
|
3 |
4 1; |
№ 332. |
2 3 2 ; |
||
№ 333. |
|
4 |
3 ; |
№ 334. |
2 3 sin ; |
||
№ 335. |
|
cos ; |
|
№ 336. |
|
4 sin 2 cos 2; |
|
№ 337. |
2 7 5 5 ; |
||
№ 338. |
|
3 |
4; |
№ 339. |
|
5 |
3 4; |
№ 340. |
|
4 |
C@; |
№ 341. |
|
2C; |
|
№ 342. |
|
3 |
2 1 ; |
№ 343. |
|
9 1; |
|
№ 344. |
|
7 |
5CX; |
№ 345. |
|
5 3; |
|
№ 346. |
|
6 |
7 2 1 ; |
№ 347. |
4 sin ; |
||
№ 348. 16 @;
60
№349. 2 2 5 cos 2;
№350. 2 10 sin 6.
Дано дифференциальное уравнение:
! ! != !( .
Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами о.о. ; б) вид частного решения неоднородного линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, если известны корни ха- |
|||||||||
рактеристического уравнения t=, …, t . |
|
cos ; |
|||||||
№ 351. t= t 1, t 2, |
C |
||||||||
№ 352. t= t 0, t 2, |
sin 2 ; |
||||||||
№ 353. t= •, t •, |
t |
0, |
|
cos 5; |
|||||
№ 354. t= 3 •, t 3 •, |
t |
3, C sin ; |
|||||||
№ 355. t= 3•, t 3•, |
t |
2, |
sin ; |
||||||
№ 356. t= 4, t 5, t 0, |
|
|
; |
||||||
№ 357. t= 3 2•, t 3 2•, t 1, sin 3 ; |
|||||||||
№ 358. t= t t 2, |
|
; |
|
|
|||||
№ 359. t= t t 0, |
C ; |
|
|
||||||
№ 360. t= t 0, t 2, |
cos 3; |
||||||||
№ 361. t= 3 •, t 3 •, |
t |
0, sin ; |
|||||||
№ 362. t= 2•, t 2•, t 5, sin 2 Z; |
|||||||||
№ 363. t= 4, t 2, t 0, 3 ; |
|||||||||
№ 364. t= t 0, t 2, |
1 sin 3; |
||||||||
№ 365. t= t 1, t 5, |
Z 2; |
|
|||||||
№ 366. t= 3• 1, t 1 3•, t |
3, |
C |
|||||||
sin 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 367. t= 0, t 1, t |
3, ; |
||||||||
№ 368. t= t 4, t 2, |
@ 12 ; |
||||||||
№ 369. t= •, t •, |
t |
3, |
|
cos 15; |
|||||
№ 370. t= •, t •, |
t |
2, |
|
C 3 13 sin . |
|||||