Материал: 5574

11

Основные характеристики нечётких отношений

Пусть Q={<х1, х2,…,xk >, μQ<х1, х2,…,xk >} произвольное нечёткое k-аpнoe отношение с кортежами из декартова произведения соответствующих универсумов X1 X 2 ... X k и функцией принадлежности μQ(<х1, х2,…,xk >).

Величина hQ= sup{μQ(< х1, х2,…,xk >) }, где супремум берётся по всем

которых значение соответствующей функции принадлежности отлично от 0. Нечёткое отношение Q называется нормальным, если максимальное

значение его функции принадлежности равно 1. Формально это означает, что для нормального нечёткого отношения необходимо выполнение следующего условия:

μQ(< х1, х2,…,xk >) =1

( x1 , x2 ,...xk X1 X 2 ... X k ) .

Некоторый кортеж wm X1 , X 2 ,..., X k нечёткого отношения Q называется

модой, если этот кортеж является точкой локального максимума соответствующей функции принадлежности μQ(< х1, х2,…,xk >), то есть выполняется условие:

wm arg max{ Q ( x1 , x2 ,..., xk )},

где максимум рассматривается в некоторой локальной окрестности кортежа wm из области определёния функции принадлежности.

Если нечёткое отношение имеет моду, совпадающую с его высотой, то преобразование wm arg max{ Q ( x1 , x2 ,..., xk )} даёт в результате нормальное нечёткое отношение.

Два нечётких отношения считаются равными (Q=R), если они заданы на одних и тех же универсумах X1 X 2 ... X k , имеют одинаковую арность и их функции принадлежности принимают равные значения на всем декартовом произведении соответствующих универсумов.

Операции над нечёткими отношениями:

1. Объединение. Объединением двух нечётких отношений Q и R называется некоторое третье нечёткое отношение U , заданное на этом же декартовом

12

произведении универсумов X1 X 2 ... X k , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

U ( x1 , x2 ,..., xk max{ Q ( x1 , x2 ,..., xk , R ( x1 , x2 ,..., xk )}

( x1, x2 ,..., xk X1 X 2 ... X k ).

2. Пересечение. Пересечением двух нечётких отношений Q и R называется некоторое третье нечёткое отношение S, заданное на этом же декартовом произведении универсумов X1 X 2 ... X k , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

S ( x1 , x2 ,..., xk ) min{ Q ( x1 , x2 ,..., xk , R ( x1 , x2 ,..., xk )}

( x1 , x2 ,..., xk X1 X 2 ... X k ).

3.Включение. Включением двух нечётких отношений Q и R называется множество R, если для u Q (u) R (u).

4.Обратное отношение. Для нечёткого отношения Q определяется также обратное отношение Q-1 такое что:

x1 , x2 ,..., xk X1 X 2 ... X K

R 1 (x1, x2 ,..., xk ) R(x1, x2 ,..., xk ).

5. Дополнение. Унарная операция дополнения нечёткого отношения Q обозначается через Q и определяется аналогично операции дополнения

x1 , x2 ,..., xk X1 X 2 ... X K .

6.Симметрическая разность. Операция симметрической разности двух нечётких отношений Q и R по определёнию есть такое нечёткое отношение QR, функция принадлежности которого равна:

13

Лабораторная работа 1. Метод максиминной свёртки Задание к лабораторной работе – сформулировать ситуацию, в которой

используется m альтернатив ai и n критериев Cj. Для каждого критерия должны быть определёны нечёткие множества оценок каждой альтернативы. Выбрать лучшую альтернативу, используя пересечение нечётких множеств, при условии одинаковой важности альтернатив и в случае, когда они имеют разную важность для лица, принимающего решения (ЛПР).

Цель работы – ознакомиться с методами принятия решений на основе теории нечётких множеств, использующих экспертные оценки, представленные нечёткими множествами.

Для выбора лучшей альтернативы можно использовать пересечение нечётких множеств, определяющих оценки альтернатив по каждому критерию:

где первая формула использует критерии одинаковой важности, а во второй формуле i – весовые коэффициенты соответствующих критериев.

Операция пересечения нечётких множеств может быть реализована разными способами, в данном случае предполагается нахождение минимума, при этом лучшей альтернативой считается имеющая наибольшее значение функции принадлежности (то есть используется максиминная свёртка упорядочения нечётких чисел).

Максиминная свёртка в литературе ещё называется свёрткой Гермейера, так как она была предложена Юрием Борисовичем Гермейером.

В противовес осреднению, связанному с риском в случае малого числа повторений игры, максимин – «проявление осторожности в оценке возможных ситуаций и интересов игроков […], не входящих в какую-либо коалицию с оперирующей стороной».[2]

14

Принцип максимина состоит в минимизации критерия:

причём 1 B1 , и для остальных

i1 fi1 (x1,i1 ), i1 Ai1, i 2, n .

Пример выполнения лабораторной работы

Выбор предприятием стратегии развития методом максиминной свёртки

Предприятие по выпуску спортивного инвентаря выходит на новый уровень развития для выпуска новой продукции – тренажёров, работающих с мышцами пресса. Предприятием решается задача выбора лучшей стратегии.

Определим возможные стратегии: снижение цены на новую продукцию (a1); повышение качества выпускаемой продукции (a2); увеличение рынков сбыта (а3); разработка новой рекламной акции (a4).

Определим десять критериев, по которым оцениваются альтернативы: C1 – затраты на расширение линейки выпускаемых продуктов;

С2 – время на реализацию проекта; СЗ – затраты на продвижение товара; С4 – затраты на исследование рынка; С5 – риски от потерь; С6 – срок окупаемости;

С7 – качество продукции; С8 – управленческие расходы;

С9 – себестоимость продукции; С10 – цена продукции.

Определим нечёткие множества по каждому i-му критерию на одном и том же базовом множестве {а 1,… а m}, выражающие нечёткие оценки каждой альтернативы:

Выбор лучшей альтернативы осуществляем по формуле (1.1) со страницы 13.

Максимальное из минимальных значений у альтернативы а2 – повышение качества выпускаемой продукции, значит она и является лучшей.

Если рассматривать операцию пересечения как умножение, то по этой же формуле (1.1) получаем:

D = { 0,6 * 0,4 * 0,3 * 0,3 * 0,5 * 0,7 * 0,8 * 0,2 * 0,7 * 0,5; 0,5 * 0,6 * 0,4 * 0,7 * 0,4 * 0,5 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,8; 0,8 * 0,1 * 0,2 * 0,1 * 0,2 * 1 * 0,6 * 0,3 * 1 * 0,3; 0,3 * 1 * 0,3 * 0,7 * 0,8 * 0,5 * 0,3 * 0,8 * 0,2 * 0,9} =

={0,00042336; 0,00193536; 0,00001728; 0,00108864},

тогда лучшая альтернатива а2 – повышение качества выпускаемой продукции. В данном случае критерии равнозначны для лица, принимающего решения. Для более взвешенного принятия решения будем учитывать важность

критериев. Весовые коэффициенты, показывающие важность критериев, приведены в таблице 1.

Для расчёта будем использовать формулу (1.2) со страницы 13 с учётом того, что весовые коэффициенты должны удовлетворять условиям:

i 1