Материал: 5574
16
Таблица 1 – Весовые коэффициенты для множества критериев
Критерий |
|
Вес i |
Вес i |
Затраты на расширение линейки выпускаемых |
0,1 |
1 |
|
продуктов |
|
|
|
Время на реализацию проекта |
|
0,14 |
1,4 |
Затраты на продвижение товара |
|
0,06 |
0,6 |
Затраты на исследование рынка |
|
0,03 |
0,3 |
Риски от потерь |
|
0,17 |
1,7 |
Срок окупаемости |
|
0,12 |
1,2 |
Качество продукции |
|
0,08 |
0,8 |
Управленческие расходы |
|
0,11 |
1,1 |
Себестоимость продукции |
|
0,09 |
0,9 |
Цена продукции |
|
0,1 |
1 |
|
|
|
|
Сумма весов: |
|
1 |
10 |
|
|
|
|
Значения i определяются как произведение |
i на число критериев. |
||
Результаты максиминной свёртки по формуле (1.2) приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты максиминной свёртки
|
а1 |
а2 |
аЗ |
а4 |
|
0,6 |
0,5 |
0,8 |
0,3 |
|
0,2773 |
0,5586 |
0,039 |
1 |
|
0,4856 |
0,5771 |
0,3807 |
0,6612 |
|
0,6968 |
0,8985 |
0,5 |
0,8985 |
|
0,3078 |
0,2106 |
0,7606 |
0,6843 |
|
0,6518 |
0,4353 |
1 |
0,4353 |
|
0,8365 |
0,4804 |
0,96 |
0,3817 |
|
0,1703 |
0,5701 |
0,876 |
0,7823 |
|
0,7254 |
0,6314 |
1 |
0,235 |
|
0,5 |
0,8 |
0,3 |
0,9 |
|
|
|
|
|
Минимум: |
0,1703 |
0,2106 |
0,039 |
0,235 |
D={0,1703; 0,2106; 0,039; 0,235}.
В данном случае максимальное из минимальных значений у альтернативы а4 – разработка новой рекламной акции, а значит она и является лучшей.
Вопросы и задания 1. Перечислите основные понятия теории нечётких множеств.
17
2.Дайте определёние нечёткого множества и приведите примеры.
3.Дайте определёние нечётким операциям.
4.Охарактеризуйте постановку задачи многокритериального выбора.
5.Что такое максиминная свёртка нечётких множеств?
6.Дайте определёние нечёткого отношения.
7.Какое отношение называется нечётким отношением предпочтения?
Лабораторная работа 2. Нечёткий логический вывод Задание к лабораторной работе – сформулировать задачу многокритериального
выбора из m альтернатив, используя логико-лингвистическое описание ситуации. Входные и выходные параметры для задачи рассматривать как лингвистические переменные, а связи между ними задавать высказываниями следующего вида:
Если А и / или А ….А, то В и / или В.
Используя нечёткий логический вывод и процедуру сравнения нечётких множеств определить лучшую альтернативу.
Цель работы – изучить метод построения нечёткой системы средствами инструментария нечёткой логики.
Выполнение работы предусматривает два этапа. Сначала задача решается вручную, а потом – построением нечёткой системы в Matlab.
Из теории множеств известна операция импликации, с записью X Y , означающей, что X является подмножеством Y. Для определёния нечёткой импликации необходимо ввести понятие «степень истинности» и рассмотреть нечёткие множества вместо чётких.
Пусть ( p) – степень истинности, а A и B – нечёткие множества. Импликация имеет место, если степень истинности следствия не меньше, чем степень истинности причины, то есть:
1, ( X ) (Y )( X ,Y )
0, в противном случае.
Случай нечёткой импликации определяется через соотношение степени принадлежности следствия (X) и причины (Y), то есть:
1, A( X ) B(Y )( A( X ) B(Y ))
0, в противном случае.
(2.1)
значений
(2.2)
18
Определёние (2.2) является строгим определёнием нечёткой импликации. Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus
ponens, согласно которому из истинности высказываний А и А→ В следует истинность высказывания В. В нечёткой логике это правило используется в приближённой форме в том смысле, что в импликации участвует не А, а его приближённое значение А*. Поэтому в нечёткой логике основным является композиционное правило вывода.
Композиционное правило вывода – это обобщение процедуры: предположим имеется кривая y f (x) и задано значение
что y f (x) и x a , можно заключить, что y b f (a) [5].
Если рассматривать А и В как нечёткие высказывания и определить для них функции принадлежности, то для импликации А → В тоже можно определить функцию принадлежности причём различными способами:
-импликация Ларсена: A B (x, y) A (x) B ( y) ;
-импликация Лукасевича: A B (x, y) min{1, 1 A (x) B ( y)};
-импликация Мамдани: A B (x, y) min{ A (x) B ( y)};
-стандартная импликация:
-импликация Гайнса: A B
A B
(x, y)
|
|
|
1, |
если |
A |
(x) |
|
B |
( y); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0, |
в противном |
случае. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
если A (x) B ( y); |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( y) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
B |
, |
в противном |
случае. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
A (x) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-импликация Kleene-Dienes: A B (x, y) max{1 A (x), B ( y)};
-импликация Kleene-Dienes-Lu: A B (x, y) 1 A (x) A (x) B ( y) .
Определим теперь обобщённое правило modus ponens (generalized modus
ponens):
-предпосылка A→B;
-событие A*;
-вывод A*◦(A→B).
Приведённая формулировка имеет два отличия от традиционной формулировки правила modus ponens: во-первых, здесь допускается, что A, A*,B – нечёткие множества, и, во-вторых, A* не обязательно идентично A.
19
Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что её значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Такое описание позволяет характеризовать сложные явления, не поддающиеся описанию общепринятыми количественными терминами.
Нечёткая задача интерполяции формулируется с использованием зависимостей нечётких множеств:
R1: если A1(x1), то B1(y1); R2: если A2(x2), то B2(y2);
…
Rn: если An(xn), то Bn(yn),
где x – предпосылка, а y – заключение,
и нечёткого значения входной переменной – C(x′). Необходимо найти значение D(y′), входящего в заключение.
Обобщив нечёткую зависимость переменных x и y, получим продукцию: если A(x), то B(y). Цель нечёткого логического вывода – определить значения выходной переменной B′(y) от входной переменной C(x′). Результирующее нечёткое множество B C ( A B ) – композиция нечёткого множества C и импликации нечётких множеств A→B.
Нечёткое множество B′ заключения вычисляется как композиция двух нечётких множеств – факта и импликации. Композиция факта и импликации
представляет собой проекцию импликации на факт: |
|
|
|
|
y Y . |
A |
( A B ) sup min( A , A B ); |
|
На основе задачи нечёткой интерполяции строят оболочку экспертной системы, осуществляющей вывод на словах [12].
Основными правилами умозаключений являются два силлогизма – modus ponens MP; modus tollens MT. В случае, если предпосылка и заключение выражаются в терминах нечётких множеств, происходит изменение основных правил вывода.
Нечёткий modus ponens (Fuzzy MP):
если A(x) B(x), A (x), то B (x) .
Нечёткий modus tollens (FMT):
если A(x) B(x), .НЕ B (x) , то НЕ A (x) .
20
Свойства обобщённых нечётких умозаключений:
1.Базовое свойство. Если множество фактов A′ соответствует множеству предпосылки A≈A′,то множество заключений B будет соответствовать множеству следствий в импликации B≈ B′.
2.Свойство общей неопределённости. Если факт полностью отрицает следствие импликации, то есть НЕ B′(x), то множество предпосылок – НЕ A′(x).
Существуют различные схемы вывода на базе нечётких правил. Пусть входные переменные x и y являются какими-либо нечёткими множествами A и B соответственно, а выходная переменная z является нечётким множеством C. Если задан факт x = x0, y = y0, то необходимо найти z = z0.
Схема вывода на базе нечётких правил сводится к решению следующей задачи:
база правил R1:
если X – A1 |
И |
Y – B1, |
тогда Z – C1; |
в противном случае R2: |
|
||
если X – A2 |
И |
Y – B2, |
тогда Z – C2; |
в противном случае |
|
||
Rn: если X – An И Y – Bn, тогда Z – Cn.
Факт: x = x0, y = y0.
Следствие: z = ? [8]
Схемы нечёткого вывода у разных авторов уточняются до оператора нечёткой импликации. Рассмотрим три схемы, представленные на рисунках 1 – 3.
В схеме нечёткого вывода Мамдани минимумом создаётся импликация, а максимумом – агрегация.
Схема нечёткого вывода Цукамото разработана для монотонных функций принадлежности.
Схема нечёткого вывода по Суджено ограничивает правые части правил вывода линейным случаем.