Материал: 5720

Пример 45. Указать каноническое уравнение эллипса с полуосями

Решение. Если – полуоси эллипса, то его каноническое уравнение имеет вид

В данном случае этим уравнением будет

Ответ: .

Пример 46. Составить уравнение эллипса с центром в точке и полуосями

Решение. Уравнение эллипса с центром в точке и полуосями имеет вид

По условию данного примера получим уравнение

Ответ:

Пример 47. Определитьгеометрическийтипкривой Решение. Сгруппируем данные и выделим полные квадраты:

Разделив последнее равенство на 36, получим уравнение

Такое уравнение (см. пример 46) задаёт эллипс с центром в точке C (2, −1) и полуосями a = 2, b = 3.

Ответ: Уравнение задаёт эллипс с центром в точке C (2, −1) и полуосями a = 2, b = 3.

Пример 48. Найти эксцентриситет эллипса

71

Решение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси. Если фокусы эллипса лежат на оси и длина большой оси есть ( – длина малой оси, ), то эксцентриситет эллипса есть число

При этом В данном примере Так как

Ответ:

Пример 49. Указать вершины и фокусы гиперболы

Решение. Если каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Решение. Асимптотами гиперболы с каноническим уравнением

Являются прямые линии Так как в данном примере то асимптотами являются прямые

Ответ: Асимптотами гиперболы являются прямые

Пример 51. Найти эксцентриситет гиперболы

Решение. Эксцентриситетом гиперболы вида

72

называется расстояние между фокусами к длине 2a действительной оси:

Ответ:

Пример 52. Указать центр С и длины 2a и действительной и мнимой осей гиперболы.

Решение. Данное уравнение имеет вид

Это будет гипербола с центром в точке и осями, параллельными координатным осям. При этом a − длина действительной полуоси, b − длина мнимой полуоси. В данном случае, центром является точка Так как то Следовательно, 2a = 8 и 2b = 10.

Ответ:

Пример 53. Выяснить геометрический тип кривой, заданной уравнением

Решение. Сгруппируем члены с переменными и выделим полные квадраты:

Разделив последнее равенство на 16, получим уравнение

Пример 54. Определить центр С, вершины и длины полуосей гиперболы

Решение. Так как уравнение имеет вид

гиперболы находятся на действительной оси. Вторая координата вершины есть число

Ответ:

Пример 55. Найти директрису и фокус F параболы, заданной каноническим уравнением .

Решение. Если каноническое уравнение параболы имеет вид то точка F ( является фокусом, а вертикальная прямая директрисой этой параболы. Парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси . В данном случае , тогда Фокусом является точка F(2,0). Директрисой будет вертикальная прямая

Ответ: Фокус параболы есть точка F(2,0), директриса − вертикальная прямая x = 2.

Пример 56. Найти вершину параболы, заданной уравнением Решение. При уравнение

задаём параболу, ось которой параллельна оси ординат Oy. Если такое уравнение преобразовать к виду

то сразу определяется вершина параболы, которой является точка Преобразуем данное уравнение, выделив в его части полный квадрат:

74

.

Решение. Уравнение второй степени или соответствует равносторонняя гипербола, ветви которой лежат в первой и третьей четвертях при , а при − во второй и четвёртой четвертях. Оси координат являются

асимптотами такой гиперболы. В данном примере уравнение имеет вид

По правилу деления многочлена на многочлен, его можно преобразовать к виду

Ясно, что последнее уравнение будет задавать гиперболу, асимптотами которой будут прямые Так как то исходное уравнение имеет вид

Модуль 3. Элементы комплексного анализа

Пример 1. Указать действительную (вещественную) часть Re Z и мнимую часть