Материал: 5720

перпендикулярный данной плоскости и называемый нормальным вектором плоскости. Воспользовавшись этим уравнением, получим или

Последнее уравнение есть общее уравнение искомой плоскости. Ответ: Уравнение искомой плоскости имеет вид

Пример 33. Написать общее уравнение плоскости, отсекающей по осям абсцисс, ординат и аппликат соответственно отрезки, величины которых таковы:

Решение. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид

Согласно данным примера, получим

Отсюда легко прийти к уравнению которое и является общим уравнением плоскости.

Ответ: Общее уравнение искомой плоскости есть уравнение

Пример 34. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку и параллельной вектору

Решение. Прямую в пространстве можно задать каноническими уравнениями

где некоторая точка этой прямой, а − ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельной ей и называемый направляющим вектором прямой. Тогда приходим к следующим каноническим уравнениям:

.

Ответ: Канонические уравнения искомой прямой таковы:

.

Пример 35. Составить параметрические уравнения пространственной прямой, проходящей через точки

66

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид

Отсюда, из условий примера, получим следующие канонические уравнения:

.

Параметрические уравнения получим, если каждое из последних отношений приравняем к параметру t:

Последние уравнения можно записать в виде

Ответ: Параметрические уравнения искомой прямой имеют вид

Пример 36. Указать, при каком числе l прямая параллельна

плоскости Решение. Прямая в пространстве будет параллельна плоскости, если её

67

правая часть которой есть определитель третьего порядка. При этом первая строка этого определителя состоит из координатных ортов вторая строка состоит из координат вектора , а третья − из координат вектора . В данном случае имеем

Вычислим последний определитель по элементам первой строки. Коэффициентами при соответственно будут алгебраические дополнения:

Пример 38. Найти площадь треугольника с вершинами Решение. Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма,

построенного на векторах

,

где есть угол между этими векторами. С другой стороны, длина вектора

определяется равенством

Таким образом, Из этого равенства и будем исходить. Так как

то

.

Тогда

Ответ:

68

Решение. Сначала найдём векторные произведения векторов т.е. вектор (см. пример 37), а потом скалярное произведение этого вектора и вектора Так как

Ответ: ( )=10.

Пример 40. Составить уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Решение. Уравнение окружности с центром в точке радиуса имеет вид

Из условия примера получим

Ответ:

Пример 41. Указать центра С и радиус r окружности, уравнение которой имеет вид

Решение. Очевидно, что (см. предыдущий пример). Таким образом, центр С имеет координаты (− 5, 3), а радиус окружности

Ответ: С= (− 5, 3);

Пример 42. Исследовать, какую кривую задаёт уравнение Решение. Данное уравнение имеет вид т.е. имеет

равные коэффициенты при квадратах переменных, а член, содержащий произведения отсутствует. Если такое уравнение задаёт какую-нибудь невырожденную кривую на плоскости, то ей будет окружность. Для выяснения ситуации данное уравнение

преобразуем, сгруппировав члены с переменными и выделив полные квадраты:

69

В последнем уравнении левая часть не отрицательна при любых действительных числах правая часть отрицательна. Данному уравнению ни одна пара ( действительных чисел не удовлетворяет. Уравнение никакой линии не задаёт.

Ответ: Уравнение примера никакой действительной кривой не задаёт.

Пример 43. Будем учитывать сказанное при решении предыдущего примера. Снова проведём такие же преобразования с данным уравнением:

Ясно, что последнему уравнению удовлетворяют координаты только одной точки

(2, 3).

Ответ: Уравнение задаёт вырожденную кривую, т.е. одну точку с координатами

(2, 3).

Пример 44. Выяснить, какую линию задаёт уравнение

Решение. Проводим преобразования данного уравнения:

Из последнего уравнения видно, что линией является окружность с центром в точке радиуса

70