Документ: 5720, страницы 61-65

Пример 16. Вычислить внутренний угол =

треугольника

которого расположены в точках

Решение. Указанный угол есть угол между векторами

Координаты этих

Решение. Расстояние (A,

B) между точками A(

и B(

находится по

формуле

(A, B)=

.

Расстояние может быть найдёно и как длина вектора

(A, B)=

.

Тогда (A, B)=

Так как

то по второй формуле получим (A, B)=

т.е. тот

же самый ответ.

Ответ: (A, B)=5.

Пример 15. Вычислить угол между векторами

Решение. Из определения скалярного произведения векторов имеем равенство

Так как	то, выразив скалярное	произведение и длины

векторов через их координаты (см. примеры 11 и 13), получим

Следовательно, =

Ответ: =.

векторов выразим через координаты точек:

Аналогично предыдущему примеру найдём :

Следовательно, =.

Ответ: =.

Пример 17. Указать нормальный вектор прямой на плоскости, заданной её общим уравнением

61

Решение. Если прямая на плоскости задана её общим уравнением то её нормальный вектор (вектор, перпендикулярный этой прямой) имеет вид

В данном примере

Ответ: Нормальный вектор этой прямой имеет вид
Ответ: Нормальный вектор этой прямой имеет вид
Пример 18. Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку

и перпендикулярной вектору
и перпендикулярной вектору
Решение. Уравнение прямой, проходящей через				точку	и
перпендикулярной вектору	имеет вид
		.
		.
Подставив в это уравнение координаты заданной точки			и координаты заданного
вектора , получим уравнение

которое преобразуется к виду

Ответ: есть общее уравнение искомой прямой.

Пример 19. Найти точки пересечения с осями координат прямой линии

Решение. Положив в заданном уравнении найдётся точка пересечения прямой с осью координат Предположим в уравнении y = 0, найдём точку пересечения с осью Ox:

Ответ:

Пример 20. Требуется общее уравнение прямой привести к уравнению в отрезках, указав величины отрезков, отсекаемых этой прямой по осям координат.

Решение. Уравнение прямой на плоскости имеет вид

.

При этом числа a и b дают величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных полуосях. Иначе говоря, прямая проходит через точки (a, 0) и (0, b). Данное общее уравнение легко преобразуется к виду

.

Это и есть уравнение заданной прямой в отрезках. При этом Ответ: Уравнение заданной прямой в отрезках имеет вид

есть величины отрезков отсекаемых прямой соответственно по оси Ox и оси Oy.

62

Пример 21. Указать угол , который образует прямая			с осью Ox.
Решение. Уравнение данной прямой имеет		вид	, т.е. вид уравнения
прямой с угловым коэффициентом . Тогда		. Так как в нашем случае		и,
следовательно,	.
Ответ:	.
Пример 22. Найти угловой коэффициент ,		заданной её общим уравнением
Пример 22. Найти угловой коэффициент ,		заданной её общим уравнением

Решение. Уравнение данной прямой легко преобразовать к виду т.е. к уравнению с угловым коэффициентом Действительно, преобразуется к виду а последнее − к виду Таким образом,

Ответ:

Пример 23. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент

Решение. Воспользуемся уравнением

где есть точка, через которую проходит прямая, а − её угловой коэффициент. Тогда

Последнее уравнение легко приводится к виду

.

Ответ: Общее уравнение искомой прямой имеет вид

.

Замечание: При решении этого примера можно применить уравнение

.

Если в него подставим заданный угловой коэффициент

то получим равенство

Подставив в последнее равенство координаты точки

получим

Прямая имеет вид

Пример 24. Найти уравнение прямой, проходящей

через точку

и

образующей с осью Ox угол

=

найдётся угловой коэффициент k этой прямой. Так

Решение. Из равенства

как

Теперь остаётся воспользоваться уравнением предыдущего

примера. Получим уравнение

Ответ: уравнение имеет вид

63

Пример 25. Составить уравнение прямой, проходящей через	точку	и
параллельной прямой
параллельной прямой
Решение. Уравнение заданной прямой имеет вид	Её	угловой

коэффициент k = 2. Угловой коэффициент любой параллельной ей прямой также равен двум. Воспользовавшись уравнением примера 23, получим

которое приводится к виду

Ответ:

Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Решение. Уравнение заданной прямой как уравнение с угловым коэффициентом

имеет вид

и, следовательно, её угловой коэффициент

Так как

угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны равенством

то

Снова воспользовавшись уравнениями

получим

Ответ: .

Пример 27. Написать

уравнение

прямой, проходящей

через

точки

и

.

Решение. Уравнение

прямой,

проходящей через

две

заданные

точки

имеет вид

Подставляя координаты этих точек в это уравнение (очевидно, что условия выполняются), получим

Из последней пропорции следует, что ( Последнее уравнение легко преобразуется к общему уравнению прямой. Общее уравнение искомой прямой таково:

Из этой формулы и данных примера получим

64

Ответ: .

Пример 29. Найти угол между прямыми, уравнения которых таковы:

Решение. Одним из углов , образованных двумя прямыми, заданными их общими уравнениями, есть угол между их нормальными векторами (другой угол дополняется его до π). Тогда

(см. также примеры 15 и 16) Так как

то из этой формулы

имеем

Следовательно, один из этих углов, которые образуют эти прямые, равен

Ответ: =.

Пример 30. Вычислить угол между прямыми, уравнения с угловыми коэффициентами которых таково:

Решение. Будем искать острый угол между данными прямыми. Он отсчитывается против хода часовой стрелки от прямой с меньшим угловым коэффициентом до прямой с большим угловым коэффициентом. Если прямые неперпендикулярны, то тангенс этого угла определяется формулой

.